Найдите сумму ряда: $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$
У меня проблемы с теорией рядов. Конкретные вопросы заключаются в следующем: \ begin {уравнение} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!} \ End {уравнение} Моя идея такая же :
поскольку $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$, \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{2^nn!}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{x^2}{2})^n}{n!}\\ &=e^{\frac{x^2}{2}} \end{align} Однако ответ - ш $x$. Основная идея основана на степенном ряду$e^x$ и $e^{–x}$. Затем сложите их вместе. Но я до сих пор не понимаю, что сделал не так.
Кто-нибудь может мне помочь, пожалуйста. Спасибо.
Ответы
То, что вы сделали неправильно, менялось $(2n)!$ к $2^nn!$.
Вы были правы, что $e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}$,
так $\cosh x = \dfrac{e^x+e^{-x}}2=\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-x)^{n}}{n!}}2=\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\left(1+(-1)^n\right) }2$.
$\dfrac{1+(-1)^n}2$ является $0$ когда $n$ странно и $1$ когда $n$ чётно, поэтому становится $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!} . $
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} $$ $$ =\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 \cdot x^{2n}}{(2n)!} -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ x^{2n+1}}{(2n+1)!} $$ $$ =\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n)!} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^{n}}{(n)!} $$ $$ = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} $$ $$= cosh(x) $$