Ноль - всегда лишний подмодуль.

Question

Определение: -1  Подмодуль$N$ модуля $M$  называется лишним (или маленьким), если нет подходящего подмодуля  $K$ из  $M$ такой, что $M=N+K$.

Определение: -2 радикала Якобсона$J(M)$ модуля $M$ это сумма всех лишних подмодулей $M$.

Меня смущает тривиальный случай. Ясно, что нулевой подмодуль любого ненулевого модуля является излишним. Но когда$M=0$ тогда $J(M) =0$. Из этих представлений я думаю$0$ должен быть лишний подмодуль $0$. Пожалуйста, развей мои сомнения. Я буду Вам очень благодарен.

Answer 1

$0$ также является лишним подмодулем $M=0$, потому что для всех собственных подмодулей $K\subsetneq M$, у нас есть $0+K\ne 0$.