Нормальный пучок и надув

Question

Давайте работать над комплексным проективным пространством: рассмотрим гладкое многообразие $X$ и подмножество $Y$. Я узнал, что если мы взорвем$X$ с центром $Y$, получаем новую разновидность $\tilde{X}$вместе с картой $\pi: \tilde{X}\to X$, который является изоморфизмом вне исключительного множества, т. е. $Y$.

Хотя у меня нет точной ссылки, мне сказали, что исключительный делитель $Y$, то есть прообраз $\pi^{-1}(Y)$, совпадает с проективным расслоением нормального расслоения, т. е.

$$\tilde{Y}=\pi^{-1}(Y)\simeq \mathbb{P}(\mathcal{N}_{Y\mid X}^\vee)=(\mathcal{N}_{Y\mid X}\setminus Y)/\sim,$$

где $\sim$ стандартное действие $\mathbb{C}$.

Вопросов:

• Что является хорошим эталоном этой конструкции? Я знаю, что это содержание теоремы II.8.24 алгебраической геометрии Хартсхорна, но без знания теории схем (и построения проектов, и когерентных пучков) это немного сложно, так что, возможно, есть более доступный текст;
• На стр. 86-87 этих заметок ( https://www.math.ens.fr/~debarre/M2.pdf ), начнем с рациональной кривой $\Gamma^+$ в $X^+$ с нормальной связкой $\mathcal{O}(-1)\oplus\mathcal{O}(-2)$: затем авторы раздувают по $\Gamma^+$, и утверждает, что исключительный дивизор равен $$S^+_1=\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(1))$$ но с использованием приведенных выше формул должно быть $\mathbb{P}(\mathcal{O}(1)\oplus \mathcal{O}(2))$: что мне не хватает?

Answer 1

В вашем утверждении отсутствует гипотеза: нам также нужно $Y$быть невырожденным. В любом случае, альтернативная ссылка - это раздел 22.3 книги Вакила «Восходящее море: основы алгебраической геометрии» , которая обычно считается более доступной, чем Хартсхорн. Вакил не дает доказательства того утверждения, которое вам нужно - это упражнение 22.3.D, - но подготовка к упражнению может дать некоторые полезные советы о том, как это доказать.

К сожалению, мне не известны ссылки на это утверждение, в которых не используется язык схем, конструкция Proj и квазикогерентные пучки, по крайней мере, в некоторой степени.

Чтобы ответить на ваш второй вопрос, два проективных пучка изоморфны, потому что проективные пучки не меняются, если вы тензорно линейным пучком. Это упражнение 17.2.G в примечаниях Вакиля и лемма II.7.9 в Хартсхорне. Еще одна ссылка на общее утверждение - это Stacks Project, тег 02NB . В частности, для всех$c \in \mathbb{Z}$, у нас есть $$\mathbb{P}(\mathcal{O}(a) \oplus \mathcal{O}(b)) \cong \mathbb{P}(\mathcal{O}(a + c) \oplus \mathcal{O}(b + c)).$$