О неравенстве Самуэльсона

Question

Если у нас есть набор $n$ действительные числа: $$\Omega=x_1,x_2,x_3,..,x_n$$ среднее арифметическое: $$A=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$$ и стандартное отклонение: $$S=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-A)^2}$$ Если набор $n$ числа ограничены так, чтобы: $$m\le x_i\le M$$ Уточнение неравенства Самуэльсона, доказанное Бхатией и Дэвисом: $$S^2\le (M-A)(A-m)$$Мой вопрос: когда выполняется равенство? Справедливо ли равенство для любого вида распределения чисел в$\Omega?$

Answer 1

Для любого $i$ Мы видим, что $S^2$ выпуклая функция от $x_i$, в котором говорится: $$\max_{m\leq x\leq M}S^2=\max_{x_i\in\{m,M\}}S^2.$$ То есть равенство имеет место при $x_1=x_2=...=x_k=m$ и $x_{k+1}=...=x_n=M.$

Теперь нам нужно выбрать значение $k$, для которого мы получим максимальное значение.

Надеюсь, это поможет.