Обмен $L^p$ норма и интеграл

Question

Это правда, что $$\left\|{\int_0^T}f(x,t)dt\right\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}\leq\int_0^T\|f(\cdot,t)\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}dt$$ где $T\leq{\infty}$?

Я могу доказать подобное неравенство в ase $T<\infty$, используя неравенство Гёльдера и теорему Фубини, чтобы получить $$\left\|{\int_0^T}f(x,t)dt\right\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}\leq{T^{1/p'}}\left(\int_0^T\|f(\cdot,t)\|_{L^p}^pdt\right)^{1/p}$$

но не вижу, как отсюда достичь окончательного неравенства, и не вижу, что это будет справедливо для случая $T=\infty$.

Answer 1

Элегантный способ доказать неравенство $\|\int f d\mu\|\le \int \|f\| d\mu$ для функций со значениями в банаховом пространстве $(X,\|\cdot\|)$ формула нормы $\|x\|=\sup\{ |\phi(x)|: \phi\in X^*, \|\phi\|^*\le 1\}$(что является следствием Хана-Банаха). За$\phi\in X^*$ с участием $\|\phi\|^*\le 1$ Вы получаете $$ \left|\phi(\int fd\mu)\right|=\left|\int \phi(f)d\mu\right|\le \int \|f\|d\mu$$ где последнее неравенство использует именно монотонность интеграла.