Обобщение лямбда-функции Лиувилля

Question

Позволять $n=p^{\alpha_1}_1 \cdots p^{\alpha_m}_m,$ и определить $$\lambda_k(n)= (-1)^{ [\frac{\Omega(n)}{k} ]},$$ где $\Omega(n)= \alpha_1 + \cdots + \alpha_k,$ и $[\cdot]$ это функция пола.

Для $k=1$, $\lambda_1$- лямбда-функция Лиувилля. Для$k=2$:

$\lambda_2(1)=1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1)=1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1p_2)=-1, \hspace{2 mm} \lambda_2(p_1p_2p_3)=-1 \hspace{2 mm} \text{ and so on...}.$

-Известно ли что-нибудь об этой функции?

-Если для $\Re(s)>1$ мы определяем $$L(s, \lambda_2):= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda_2(n)}{n^s},$$

Есть ли связь между $L_{\lambda_2}(s)$ а нули дзета-функции Римана?

-Я предполагаю (не зная, как доказать), что $$\sum_{n<x} \lambda_2(n) = o(x),$$ похож на $\lambda_1$ следует ли ожидать исключения квадратного корня из суммы $\lambda_2$ также?

Answer 1

Давайте просто рассмотрим случай $k=2$; вы можете попытаться обобщить этот аргумент для большего$k$. Для$k=2$, $$ \sum_{n\le x} \lambda_2(n) = \sum_{\substack{ n\le x \\ \Omega(n) = 0,1 \mod 4}} 1 - \sum_{\substack{ n\le x \\ \Omega(n) = 2,3 \mod 4}} 1. $$ Это можно выразить как $$ \text{Re} \sum_{n\le x} i^{\Omega(n)} + \text{Im} \sum_{n\le x}i^{\Omega(n)}, $$и теперь можно использовать Сельберг - Деланж. Это покажет асимптотическое разложение для$\sum_{n\le x} i^{\Omega(n)}$, а главный член асимптотики равен $$ C x (\log x)^{i-1}, $$ для подходящей постоянной $C$. Таким образом, вы можете найти асимптотику для своей суммы, которая будет иметь вид$$ A \cos(\log \log x) \frac{x}{\log x} + B \sin(\log \log x) \frac{x}{\log x}, $$ для подходящих констант $A$ и $B$. Странно! Но тогда вы также смотрите на странный объект!