Обобщенная теорема Нётер

Question

В тексте, который я читаю, утверждается, что если существует симметрия, порожденная $Q$, и при этом преобразовании оператор преобразуется как$$f\rightarrow f +\delta f,$$ тогда по теореме Нётер $$\delta f = i\epsilon[Q, f].$$

Однако это не та теорема Нётер, к которой я привык, и я считаю, что она похожа на это утверждение, а только для переводов времени (с генератором $H$). Как можно показать это обобщение теоремы Нётер?

Answer 1

Кажется, это не совсем утверждение теоремы Нётер, а следствие уравнения движения Лиувилля: $$ \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + i \{Q, f\} $$ где $\{,\}$-обозначает скобку Пуассона. Обычно вы видите гамильтониан$H$ вместо $Q$. Однако любой заряд можно рассматривать так же, как гамильтиониан. И для маленьких$\epsilon$, и $f$ не зависящий явно от времени, он дает: $$ \delta f = i \epsilon \{Q, f\} $$ Как утверждается

Answer 2

Я думаю, тебе стоит взглянуть на

Баез, JC (2020). Приступаем к сути теоремы Нётер. Препринт arXiv arXiv: 2006.14741.

где, я полагаю, он обсуждает версию теоремы Нётер, сформулированную таким образом в разделе 2.

В частности, на странице 15 обсуждается версия теоремы Нётер, которая выражается скобкой Пуассона, в которой две вещи равны нулю. Вы не определили$\epsilon$ выше, но я думаю, что, возможно, это часть используемого вами нотационного исчисления (и пока я все еще не знаю об этом), и может быть эквивалентно тому, что написано в статье Баэза.

Фактически разница между ними напоминает мне кое-что, что я недавно прочитал в этом решении относительно размышлений о производных (последняя строка прямо перед строкой Доказательство [1]), что может объяснить переход.