ODE $y'+ x\sin( 2y) = x e^{-x^2} \cos^2 (y)$

Question

У меня ОДУ следующее:

$$y'+ x\sin (2y) = x e^{-x^2} \cos^2 (y)$$

Я застрял, пытаясь привести его в линейную форму. я пытался$\sin (2y) = \sin y \cos y $ а затем разделив ОДУ на $( \cos y ) ^{-1} $. Это ни к чему не привело, поэтому я попытался разделить на$( \sin y )^{-2} $вместо. Я тоже застрял. Думаю, мне нужно произвести замену, но не знаю, какую именно.

Благодарю.

Answer 1

ПОДСКАЗКА

$$y'+x\sin(2y)=xe^{-x^2}\cos^2y\\\implies\sec^2y\ y' + 2x\tan y=xe^{-x^2}\ , \text{\{let $\ tan y = t \ подразумевает \ sec ^ 2 y \ y '= t'$\}}\\\implies t' +2xt =xe^{-x^2}$$

Answer 2

$$y'+ x\sin( 2y) = x e^{-x^2} \cos^2 (y)$$ Умножить на $2x'$ и заменить $u=x^2$: $$2+ 2xx'\sin( 2y) = 2xx' e^{-x^2} \cos^2 (y)$$ $$2+ u'\sin( 2y) = -( e^{-u})' \cos^2 (y)$$ $$2(\tan y)'+ 2u'\tan( y) = -( e^{-u})' $$ Умножить на $e^u$: $$2(e^u\tan y)' = -e^u( e^{-u})' $$ $$2d(e^u\tan y) = -e^ud( e^{-u}) $$ Интегрируйте. $$\boxed {2e^{x^2}\tan y -x^2=C} $$

---

Обратите внимание, что вы также можете переписать DE как: $$(e^{x^2} \tan (y))'=x$$ И интегрироваться.