ОПЕ экспонент

Question

Для голоморфного поля $H(z)$ с OPE: $$H(z)H(0)\sim -\ln z$$ Какой самый умный способ рассчитать OPE экспоненциальных операторов $e^{\pm iH(z)}$, учитывая следующее? $$e^{iH(z)}e^{-iH(0)} \sim \frac{1}{z},$$ $$e^{iH(z)}e^{iH(0)} \sim 0,$$ $$e^{-iH(z)}e^{-iH(0)} \sim 0.$$ Должен ли я расширить $\exp$а делать посрочно? Или есть более разумный способ сделать это?

Answer 1

Подсказки:

1. Обратите внимание, что есть неявно записанный радиальный порядок ${\cal R}$ и нормальный порядок $::$ в различных местах в уравнениях ОП.

2. Отправной точкой является двухточечное соотношение $$\begin{align}{\cal R}(A(z)B(w)) ~-~:A(z)B(w): ~=~& C(z,w)~{\bf 1}, \cr C(z,w)~\equiv~&\langle \Omega | {\cal R}(A(z)B(w))|\Omega\rangle,\end{align} \tag{1} $$ср. это сообщение Phys.SE.

3. Соответствующая теорема Вика - это вложенная теорема Вика$$ \begin{align} {\cal R}(:e^{A(z)}::e^{B(w)}:)~=~&\exp\left( C(z,w)\frac{\partial}{\partial A(z)}\frac{\partial}{\partial B(w)}\right): e^{A(z)+B(w)}:\cr ~=~&\ldots~=~e^{C(z,w)}: e^{A(z)+B(w)}:\cr ~=~&e^{C(z,w)}\left(: e^{A(w)+B(w)}:~+~{\cal O}(z\!-\!w)\right) ,\end{align} \tag{2}$$ср. мой ответ Phys.SE здесь .