Определение n-категории
Какое стандартное определение, если таковое имеется, $n$-категория по состоянию на 2020 год? Литература, к которой я могу подключиться, довольно ограничена, но я постараюсь изо всех сил перечислить то, что у меня было до сих пор.
В [Lei2001] Ленстер продемонстрировал 10 различных определений $n$-category и не комментировал, эквивалентны они или нет. В [BSP2011] авторы установили аксиомы и утверждали, что все (многие?) Определения$(\infty,n)$-категории пока удовлетворяют своим аксиомам и, следовательно, эквивалентны (с точностью до некоторого действия). Я включил эти определения сюда для полноты:
- (a) Полные Θn-пространства Сигала Чарльза Резка,
- (б) n-кратно полные пространства Сигала,
- (c) n-категории Андре Хиршовица и Симпсона по Сигалу,
- (d) n-относительные категории Кларка Барвика и Дэна Кана,
- (e) категории, обогащенные любой внутренней модельной категорией, лежащей в основе гомотопической теории которой является гомотопическая теория (∞, n) -категорий,
- (е) при n = 1 квазикатегории Бордмана и Фогта,
- (g) когда n = 1, отмеченные симплициальные множества Лурье, и
- (h) когда n = 2, масштабированные симплициальные множества Лурье,
Однако, во всех случаях в не кажется [Lei2001] должны быть охвачены, и есть еще здесь . В чем принципиальная разница между определением$n$-категория и $(\infty,n)$-категория?
Вопрос
Короче говоря, есть много определений для более высоких категорий ... Итак, какое из них мы должны использовать? Есть ли список всех сделанных определений и обсуждение того, какое из них эквивалентно и в каком смысле? Есть ли также дискуссии о том, какое определение удовлетворяет трем гипотезам?
- гипотеза стабилизации
- гипотеза путаницы
- гипотеза кобордизма
постулируется в [BD1995]?
Справка
- [Lei2001]: Обзор определений n-категорий- [Том Ленстер] - [arXiv: math - 0107188]
- [BSP2011]: О единственности гомотопической теории высших категорий - [Кларк Барвик и Кристофер Шоммер-Прис] - [arXiv: 1112.0040]
- [BD1995]: многомерная алгебра и топологическая квантовая теория поля - [Джон К. Баез и Джеймс Долан] - [arXiv: q-alg - 9503002]
Связанный
- Перевод разработок на разные фонды
Ответы
Прежде всего, есть важные различия между понятиями строгой $n$-категория, слабая $n$-категория и $(\infty,n)$-категория. Самое простое понятие - это строгий$n$-категория, и нет никаких сомнений в определении там : строгий$0$-категория - это множество, и по индукции строгая $n$-категория - это категория, обогащенная категорией $(n-1)$-категории.
Хорошо, что вы процитировали статью Баэза и Долана, в которой была представлена ранняя модель понятия слабой $n$-категория. Между 1995 и 2001 годами появилось огромное количество других моделей. В моральном плане это должны быть категории, слабо обогащенные до категории слабых.$(n-1)$-категории, но есть много способов определить слабое обогащение, потому что есть много способов отслеживать высшие ячейки и то, как они сочетаются. В 2004 году была конференция, на которой пытались собрать всех вместе и выяснить общие черты между моделями, и какие из них эквивалентны другим. Это не привело к тому, что одна модель стала «стандартной», и я не думаю, что вы должны ожидать, что это произойдет в ближайшее время. Однако теперь мы знаем, что модели для слабых$n$-категории можно разделить на два лагеря. Википедия прекрасно об этом говорит :
В основном есть два класса теорий: те, в которых высшие клетки и высшие композиции реализуются алгебраически (наиболее примечательно теория слабых высших категорий Майкла Батанина), и те, в которых используется больше топологических моделей (например, высшая категория как симплициальное множество, удовлетворяющее требованиям). некоторые свойства универсальности).
В Википедии также говорится: «Было дано несколько определений, и сообщение о том, когда они эквивалентны и в каком смысле, стало новым объектом исследования в теории категорий». Это соответствует моему пониманию поля в его нынешнем виде. Я думаю, что теория высших категорий интересуется вопросами о множестве моделей слабого$n$-категории. Это отличается от изучения$(\infty,n)$-категории, что больше относится к теории гомотопий.
Теперь другие могут прийти и сказать: "$(\infty,n)$-категории - это правильно », потому что в MathOverflow больше теоретиков гомотопии, чем у теоретиков более высоких категорий. Вы можете почувствовать то же самое, читая nLab, опять же в зависимости от того, кто там пишет. Но если вы пойдете пообщаться в Сиднее, Австралия, там, где жива и здорова теория высших категорий, вы не услышите, как люди говорят $(\infty,n)$-категории являются "правильной" моделью или теоремой единственности для $(\infty,n)$-categories решает проблему с 2004 года по выяснению, какие модели слабых $n$-категории эквивалентны.
Также ведется большая работа, связанная с гипотезой стабилизации, гипотезой путаницы и гипотезой кобордизма в различных моделях слабой связи. $n$-категории. Например, Батанин недавно доказал гипотезу стабилизации для модели Резка, основанную на$\Theta_n$-пространства. Затем мы с Батаниным дали еще одно доказательство, которое справедливо для целого класса определений слабых$n$-категории, в том числе модель Резка. Еще в 1998 году Карлос Симпсон доказал гипотезу стабилизации для определения слабых n-категорий Тамсамани. Гепнер и Хаугсенг доказали гипотезу стабилизации для$(\infty,n)$-категории и тип слабого обогащения, которые вы получите, используя докторскую диссертацию Хаугсена (на обогащенной $\infty$-категории). Конечно, как известно, Лурье написал тысячи страниц для доказательства гипотезы кобордизма для$(\infty,n)$-категории, а Аяла и Фрэнсис дали более короткое доказательство, используя гомологию факторизации.
Я уверен, что я пропустил много литературы, и я уверен, что некоторые не согласятся со мной, сказав: «Да, изучать модели слабого $n$-категории вместо только учебы $(\infty,n)$-категории. "Но вы просили ссылки, так что вот несколько, чтобы вы начали.