Орбиты $SO(3)$
Отказ от ответственности: у этого вопроса было несколько правок; этот рассматривает случай$k=\mathbb{R}$, а я выложу еще один для сложного случая.
Рассмотрим действие $SO(3)$ на $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$, с однородными координатами $x_0,x_1,x_2$, формы $$SO(3)\times\mathbb{P}^2\to \mathbb{P}^2$$ $$(A,p)\mapsto Ap.$$ Я хотел бы понять, каковы орбиты этого действия, и понять, является ли действие транзитивным, то есть $SO(3)\simeq \mathbb{P}^2$ то есть, поскольку $SO(3)/SO(3)_p\simeq SO(3)p$, Я бы хотел учиться $$SO(3)/SO(3)_p.$$ Для простоты я решил, что $p=(1:0:0)$, и я обнаружил, что $$SO(3)_p=\{A\in SO(3)\mid \text{the first columns of $А$ is equal to $п$}\}.$$ В заключение я должен показать, что, учитывая точку $y\in \mathbb{P}^2$, существует матрица $B\in SO(3)$ такой, что $Bp=y$, т.е. первый столбец $B$ равно $y$. К сожалению, сейчас я застрял, потому что не знаю, как создать матрицу из простого столбца$y$.
Ответы
Вам нужна матрица $B$ такой, что $Bp$ пропорционально $y$ (думать о $y$ как вектор в $\Bbb R^3$). Итак, первый шаг - заменить$y$ с участием $y/\|y\|$, так что это единичный вектор. Тогда вам понадобится матрица вращения, первый столбец которой$y$. Два других столбца должны быть ортогональны$y$, и они должны быть положительно ориентированы. Итак, вот конструкция:
Пусть самая маленькая запись $y$, по абсолютной величине быть $i$тыс. Позволять$w = e_i$. Вычислить$$ v = w - w \cdot y $$ который ортогонален $y$ (почему он не может быть нулевым? Это упражнение для вас), а затем позвольте $$ u = v / \| v \| $$ который является единичным вектором, ортогональным к $y$. Тогда пусть$B$ матрица со столбцами $y, u, $ и $y \times u$.
Но учтите, что это работает для каждой точки. $y$а не только те, что на вашей кривой $C$, поэтому я не совсем понимаю, как это решает вашу проблему. Я, наверное, что-то неправильно понял.