Основная группа $\mathbb{C}\mathbb{P}^{n}$
Я хотел бы вычислить фундаментальную группу $\mathbb{C}\mathbb{P}^{n}$возможно, используя теорему Ван Кампена, есть еще один источник на SE: Односвязно ли комплексное проективное пространство? но это выходит за рамки моих реальных знаний.
Кажется, есть большая разница между вычислением реальной и комплексной проективной фундаментальной группы без использования гомологии, поскольку я также не нашел никакого материала в классических книгах.
Я бы хотел продолжить по индукции, поскольку я уже знаю, что $\mathbb{C}\mathbb{P}^{1} \sim \mathbb{S}^{2}$просто связано. Для индуктивного шага я бы хотел определить$A = \mathbb{C}\mathbb{P}^{n}- H$, где $H = \left\lbrace [x_{0} : \cdots : x_{n}] : x_{0} = 0\right\rbrace$ и $B = \mathbb{C}\mathbb{P}^{n}-[1 : \cdots : 0]$
я знаю это $A$ гомеоморфен $\mathbb{C}^{n}$так что у него тривиальная фундаментальная группа. Я хочу доказать это$H$ деформационный ретракт $B$ чтобы сделать вывод, что он также просто связан, и сделать вывод, поскольку пересечение связано с путем.
Я не очень понимаю, как правильно (то есть формально) построить деформацию на $H$. Есть простые способы или способ лучше?
Любая помощь, подсказка или решение, не требующее какой-либо теории, большей, чем общая топология и использование Van Kampen, будут оценены.
Ответы
Возможно, это поможет. Вы можете получить$\mathbb CP^n$ из $\mathbb CP^{n-1}$ приклеив диск размерности $2n$ используя каноническую карту $S^{2n-1}\to \mathbb CP^{n-1}$. Итак, рассмотрим ситуацию, когда$X$ получается из $Y$ в виде $Y\cup_f e^{2n}$, начинается с $n=1$. Утверждение состоит в том, что если$X$ односвязно, то так $Y$. Фактически, из этого следует, что карта$Y\to X$ где добавленная ячейка индуцирует изоморфизм на $\pi_1$.
Чтобы увидеть это, рассмотрим цикл на $X$. Утверждают (в силу компактности или иным образом), что можно предположить, что петля пропускает по крайней мере одну точку внутри$e^{2n}$. Как только это будет сделано, вы можете использовать факт удаления точки из$e^{2n}$ позволяет втянуть его в $Y$, и петля в этом пространстве стягиваема.
Добавить . Карта$S^{2n+1}\to \mathbb CP^n$здесь также можно использовать более прямо. Это показывает, что$ \mathbb CP^n$ является частным от $S^{2n+1}$ действием $S^1$. Фактически, эта проекция является расслоением, и у вас есть длинная точная последовательность гомотопических групп, которая дает вам точное описание гомотопических групп$ \mathbb CP^n$. Смотрите здесь .