Относительный штрих к $0$
Это более общий вопрос, но я собираюсь использовать теорему, чтобы его мотивировать.
Предположим, я хочу доказать, что существует рациональное $r$ такой, что $r^3 + r + 1 = 0$. Первый шаг - предположить, что существует такая$r$, так $r = \frac{p}{q}$ где $p,q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$ где $p,q$ относительно просты.
Вот мой вопрос. Если это$r$ мы $0$ (это не так, и я могу это исключить, но меня интересует, нужно ли мне на самом деле исключать это для полной строгости), что $r = \frac{0}{q}$. Но$0 \cdot 0 = 0$ и $0 \cdot q = 0$так что оба $p$ и $q$ имеют общий фактор $0$.
Но $\gcd(p,q) = 1$, тем не менее, поскольку $1 > 0$, и, кажется, не имеет значения, если $q$ отрицательный.
Исходя из этого, я делаю вывод, что на самом деле не имеет значения, если $p = 0$и мне не нужно об этом думать. Это правильно? Если бы я написал "предполагаю$p$ и $q$ не имеют общих факторов ", это уже немного двусмысленно, потому что у них наверняка есть общий фактор $1$, но более формальное «относительно простое» предположение кажется приемлемым.
Ответы
Если мы заменим "$p,q$ относительно просты "с"$\frac pq$ находится в "низшем сроке" "изменит ли это то, как вы об этом думаете?
Если $q > 1$ тогда $\frac 0q = \frac 01$ так $\frac 0q$ не в самом низком плане.
Если мы воспользуемся обозначениями $\gcd$ и «относительное простое число», хотя аргумент тот же.
Так как $0\cdot q = 0$ у нас есть $q$ является делителем $0$ и так $\gcd(0, q) = q$ и если $q > 1$ тогда $\gcd(0,q) = q$ и поэтому
Если $q>1$ тогда $0$ и $q$ не являются относительно простыми.
Но $\gcd(0,1) = 1$ так
$0$ и $1$ относительно просты.
И мы можем просто продолжить.
====
Но в своем анализе вы запутались и сделали извилину.
Ты говоришь:
Но 0⋅0 = 0 и 0⋅q = 0, поэтому оба p и q имеют общий делитель 0.
Не совсем. у нас есть$0\cdot q =0$. Вы не имеете$0\cdot something = q$. Так$0$это НЕ является фактором$q$. Так$0$не является фактором чего-либо, кроме самого себя.
То , что вы действительно есть , и надо было сказать, потому что$0\cdot q = 0$ и $1\cdot q = q$ что это $q$ (и не $0$), что является общим фактором $0$ и $q$.
На самом деле все является фактором$0$ так $\gcd(0,anything) = |anything|$. (Имей в виду$\gcd(a,b) = \gcd(a,-b) = \gcd(-a, b)=\gcd(-a, -b)$ потому что если что-то разделяет оба $a$ и $b$ это также разделяет $-a$ и $-b$.)
И $0$ и $q$ относительно простые средства $\gcd(0, q) = 1$. Но$\gcd(0, q) = |q|$ так что иметь $0$ и $q$ относительно простые, мы должны иметь $q = \pm 1$.
....
о, я должен отметить, как поправил меня Прасун Бисвас, когда мы определяем $\gcd(a,b)$и «наибольший» общий делитель, большинство текстов не обязательно означает «наибольший» по величине, но «наибольший» по делимости. Мы определяем$a\preceq b$ иметь в виду, что $a$ разделяет $b$и это частичный порядок (не полный, никакие два элемента не сравниваются). Используя этот порядок, «наибольший» общий делитель - это общий делитель, на который делятся все остальные общие делители.
По большей части определение такое же, как если бы $a,b$ оба положительные $a\preceq b \implies a \le b$. И если$a,b$ - целые положительные числа, наибольший общий делитель по величине и наибольший общий делитель по делимости совпадают.
Но в этом случае все разделяет $0$у нас всегда есть $q\preceq 0$ и $\max_{\preceq} \mathbb Z = 0$ и $0$имеет большую делимость, чем все целые числа. Так что хотя все$q$ являются общими делителями $0$ и $0$, $\gcd(0,0) = 0$.