Почему число Пи не повторяется?
Хорошо, я только что изучил принцип голубятни (PHP) и его применение с десятичным расширением.
Чтобы четко передать свой вопрос, мне нужно передать свое понимание PHP в отношении десятичного расширения, так что вот ...
В процессе деления в столбик мы можем получить бесконечное количество остатков, поскольку $0$также считается остатком (см., Fig 1чтобы понять, что я имею в виду), который$>$конечное число возможных значений остатков (по теореме о частно-остатках,$0≤r<d $)
→ С помощью PHP мы определенно получим остаток, значение которого такое же, как и значение предыдущего остатка (на рис. 1 мы оцениваем попадание, когда r 7 = r 1 )
→ Как таковая в какой-то момент последовательность остатков будет бесконечно повторяться
→ Эта последовательность остатков может быть нулем или ненулевой.
→ Если это последовательность нулей, мы получим завершающие десятичные дроби вроде $2$(как в $2.\color{red}{\overline{000}}\ldots$$... $ ) или 3.625 $ (как в $ 3.625 \ color {red} {\ overline {000}} \ ldots$$...$)
→ Если это последовательность ненулевых чисел, мы получаем повторяющуюся десятичную дробь, например $3/14$знак равно$0.2\color{red}{\overline{142857}}\ldots$
Мой вопрос: почему PI не попадает ни в одну из этих категорий? Это как-то нарушает PHP ?
Заранее извиняюсь за скриншоты.
Рисунок 1:
Ответы
Второй шаг вашего вывода должен быть лучше обоснован. Обратите внимание, что в вашей настройке делитель$d$должен быть целым числом, чтобы приложение PHP имело смысл. Теперь есть два случая.
Дивиденд - это целое число, которое представляется как $n.00000\ldots$. Затем вы можете использовать PHP, чтобы доказать, что в некотором остатке, полученном после десятичной точки, повторяется. Так что у тебя есть$r_k=r_{k+n}$ за $k,n$получается после десятичных знаков. Тогда вам нужно дополнительно аргументировать, что сбивание$0$ в $r_{k+n}$ дает периодический образец деления длины $n$ оттуда, что дает в конечном итоге повторяющуюся десятичную дробь в вашем ответе.
Дивиденд - это не целое число, а какое-то произвольное действительное число. В этом случае PHP сообщает, что вы получите повторяющиеся остатки. Но вы не сможете дальше утверждать, что список остатков в конечном итоге повторяется. Например, рассмотрим разделение$2$ в $0.10100100010000\ldots$ (здесь у меня $1$ с последующим $n$ нули для $n=1$ к $\infty$). Ваш список остатков$0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0\ldots$без повторов. Однако, даже если вы получили повторяющуюся последовательность остатков, это не обязательно означает, что ваш ответ является повторяющимся десятичным числом. Например, рассмотрим любое действительное число$x$в виде десятичной дроби $a_0.a_1a_2a_3\ldots$. Сделайте тривиальное деление в столбик$1$ в $x$. Вы получите остаток$0$ каждый раз, но десятичная последовательность в частном (в конечном итоге) не должна повторяться.
Теперь что касается $\pi$, он должен соответствовать второму случаю , потому что если вы начнете свое длинное деление с делимого и делителя целыми числами, тогда вы уже вычисляете рациональное число.
$\pi$это трансцендентное число, а не рациональное. Аргумент PHP, кажется, применим к рациональным числам.
Вы предположили, что можете вычислить $\pi$ путем деления одного числа с известным конечным числом цифр на другое число с известным конечным числом цифр.
Это само определение того, что означает рациональность числа. И действительно, ваш аргумент является верным доказательством того, что десятичное представление любого рационального числа повторяется.
Но $\pi$не рационально. Его нельзя вычислить, разделив одно число с известным конечным числом цифр на другое число с известным конечным числом цифр.