Похмелье пчел

Question

Пьяная пчела приземляется на совершенно случайный шестиугольник большого треугольного сечения (изображенного ниже) своего улья, а затем каждую секунду после этого делает шаг к совершенно случайному соседнему шестиугольнику. Сколько времени в среднем потребуется пчелам, чтобы покинуть этот регион?

Это мой собственный преобразующий результат существующей вероятностной проблемы. Подсказка: решение (для данного случая) будет целым!

Answer 1

Позволять $n$ быть размером с треугольник и $(a,b,c)$ барицентрические координаты данного шестиугольника внутри этого треугольника, такие что $a+b+c = n+2$. Я утверждаю, что среднее время побега$E$ когда начиная с этого шестиугольника $\frac {3abc} {n+2}$(1). Действительно, у нас есть система уравнений$E(a,b,c) = 1 + \frac{E(a+1,b-1,c) + E(a,b+1,c-1) + E(a-1,b,c+1) + E(a-1,b+1,c) + E(a,b-1,c+1) + E(a+1,b,c-1)} {6}$
и легко проверить, что $E$ (1) удовлетворяет этим уравнениям и граничным условиям, которые $E(a,b,c) = 0$ если $a=0 \vee b=0 \vee c=0$.

Осталось усреднить по стартовым точкам: $\langle E \rangle = \frac {2} {17\times 18} \sum_{a+b+c = 19} \frac {3abc} {19}$ Сумму можно распознать с точностью до префакторов биномиального коэффициента $\begin{pmatrix}21 \\ 5 \end{pmatrix}$ уступающий $\langle E \rangle = \frac {2} {17\times 18} \times \frac {3} {19} \times\begin{pmatrix}21 \\ 5 \end{pmatrix} = 21$

Чтобы получить некоторое представление о формуле $\begin{pmatrix}N+2n \\ 2n+1 \end{pmatrix} = \sum_{i_0,\ldots,i_n \ge 1, i_0+\ldots+i_n = N+n} i_0 \cdots i_n$Напомним, что биномиальный коэффициент на левой стороне можно интерпретировать как объем (количество пушечных ядер) в 2n + 1-мерной куче пушечных ядер в форме пирамиды с N пушечными ядрами вдоль каждого края. Это можно показать с помощью обычного аргумента в виде звездочек и полосок с использованием барицентрических координат.

Источник: общественное достояние Википедии

Оставив тонкости дискретизации в стороне, спроецируем $2n+1$-симплекс (который имеет $2n+2$ барицентрические координаты) к $n$-симплекс (который имеет $n+1$барицентрические координаты) просто путем объединения координат и суммирования пар. Теперь мы можем спросить, каковы форма и объем подмножества большого симплекса, который отображается в единственную точку малого симплекса? Можно понять, что это должен быть (гипер) кубоид, но, может быть, проще просто посмотреть на картинку:

Источник: wikipedia CC BY-SA 4.0 Tomruen