Поле $\mathbb{Q}(\pi)$ элементарно эквивалентен $\mathbb{Q}$?

Question

В теории моделей мы говорим, что две структуры элементарно эквивалентны, если они удовлетворяют одним и тем же предложениям первого порядка. Например, на языке$\mathcal{L}=\{+,\cdot\}$, поля $(\mathbb{Q},+,\cdot)$ и $(\mathbb{Q}(\sqrt{2}),+,\cdot)$ элементарно не эквивалентны, потому что $\mathcal{L}$-приговор

$$\sigma: \exists y\,\exists z\,\forall x\,(x\cdot z=x \wedge y\cdot y=z+z.)$$

держится во втором поле, но не в первом. (По сути, в предложении говорится, что «существует элемент, квадрат которого равен$1+1$")

Однако есть ли простой способ показать, что $(\mathbb{Q},+,\cdot)$ и $(\mathbb{Q}(\pi),+,\cdot)$ являются (или не являются) элементарно эквивалентными?

Answer 1

Для каждого рационального числа $x$, или $x$ или же $-x$ представляет собой сумму четырех квадратов в $\mathbb{Q}$. Но ни то, ни другое$\pi$ ни $-\pi$ представляет собой сумму четырех квадратов в $\mathbb{Q}(\pi)$. Один из быстрых способов убедиться в этом заключается в том, что существует автоморфизм$\mathbb{Q}(\pi)$ обмен $\pi$ и $-\pi$, так $\mathbb{Q}(\pi)$ допускает порядок, в котором $-\pi<0$ и другой, в котором $\pi<0$, но в упорядоченном поле любая сумма квадратов равна $\geq 0$.