Помогите понять процесс Пуассона

Question

просто быстрый (предположительно). Я просто пытаюсь понять несколько вещей:

Позволять $N_{t},t\geq 0$быть процессом подсчета. тогда мы говорим, что процесс счета - это процесс Пуассона интенсивности$\lambda$ если

• случайные величины $N_{t+s} - N_{t}$ не зависит от $\{N_u, 0 \leq u \leq t\}$ для всех $s,t \geq 0$
• Случайная величина $(N_{t+s} - N_{t}) \sim Pois(\lambda s)$

Это определение эквивалентно: $\forall t \geq 0:$

• $P(N_{t+h} - N_{t} = 1) = \lambda h + o(h)$
• $P(N_{t+h} - N_{t} = 0) = 1 - \lambda h + o(h)$
• $P(N_{t+h} - N_{t} = 2) = o(h)$

что, насколько я понимаю, говорит нам, что процесс может увеличиваться только на единицу за каждый временной шаг. (третий пункт). Вероятность увеличения на единицу определяется нашей интенсивностью, умноженной на то, как долго мы находимся в этом временном интервале. и второй пункт, очевидно, является нашим комплиментом.

Затем мы говорим о времени приращения (которое, я считаю, такое же, как время выдержки). $T_{1},T_{2},\cdots$ тогда мы говорим, что $T_n = \inf\{t\geq 0: N_{t} \geq n \}$ То есть, в первый раз, когда мы получаем выше некоторого заданного значения (n)

затем время между прибытием $(T_{n+1}-T_{n}) \sim \exp(\lambda)$

Итак ... из моего понимания; $T_{n}$ это время, когда мы посчитали какое-то число больше n. и $T_{n+1}-T_{n}$ сколько времени потребовалось, чтобы добраться туда из предыдущего состояния?

Если да, то допустим, что мы указываем какой-то процесс. могли бы мы получить какое-то значение из нашего пуассоновского процесса, затем подождать время, определяемое экспоненциальным процессом, а затем принять какое-то значение из нашего пуассоновского процесса.

так и будет. Значение экспоненциального времени 1: - счетчик 1 - значение экспоненциального времени 2 - счетчик 2 ... и так далее.

Answer 1

В лучшем случае довольно неточно сказать, что «процесс может увеличиваться только на единицу за каждый временной шаг», потому что

• это непрерывный процесс, поэтому здесь нет «временных шагов», и
• не существует настолько короткого временного интервала, чтобы процессы не могли увеличиваться более чем на единицу в течение этого временного интервала; скорее, приращение более чем на единицу крайне маловероятно, даже по сравнению с очень невероятным событием приращения в течение крошечного крошечного интервала времени.

Однако процесс может увеличиваться только на единицу каждый раз, когда он увеличивается.

Следует знать разницу между двумя разными словами: «комплимент» (с «i») и «комплемент» (с «е»). Если я скажу, что ваше сообщение великолепно, это будет комплиментом (с буквой «i»). Комплемента (с «е») из XYZ является то , что должно быть добавлено к XYZ , чтобы сделать его завершения . Тот факт, что буква «е» используется в одном и том же месте в слове как в «дополнении», так и в «полном», не является простым совпадением.