Помощь в реальном анализе

Question

Последовательность ($x_n$знак равно $a^n(n^2)$ , $0<a<1$ сходящийся?

Доказательство того, что последовательность неограниченна и, следовательно, расходится:

Предположим, что он ограничен, тогда существует $M>0$, так что $M\geq|x_n|$ для всех $n \in \Bbb N$. Отметим, что поскольку$a>0$ и $n>0$, все члены последовательности положительны. Так$M\geq x_n$. поскольку$a^n$положительно, то его обратная величина также должна быть положительной. Следовательно, умножая обе части на$1/a^n$, мы получаем $M/a^n\geq n^2$ для всех $n \in \Bbb N$.

По свойству Архимеда существует $n_1 \geq M/a^n$, поскольку $M/a^n$положительный. Позволять$n_2 = n_1 +1$. потом$n_2$ натуральное число, и $n_2 > M/a^n$, так $$ n_2^2 > n_2 M/a^n > n_1 M/ a^n \geq M/ a^n $$ так $n_2^2 > M/ a^n$. Но потом$M/a^n \geq n_2^2$ поскольку $n_2 \in \Bbb N$. поскольку$n_2^2$ не может быть больше чем $M/a^n$ и меньше или равно $M/a^n$ в то же время мы получили противоречие, а значит, последовательность неограничена.

Доказательство того, что последовательность сходится: мы используем критерий отношения Коши.

Возьмите соотношение $x_{n+1} / x_n$. Мы получаем$$ (a^{n+1} (n+1)^2)/a^n n^2 = a(n+1)^2 / n^2 = a(n^2/n^2 +2n/n^2 + 1/n^2) = a(1+2/n+ 1/n^2).$$ Поскольку последовательности $1/n^2$ и $1/n$ оба сходятся к $0$, последовательность сходится к $a(1)+ a(2)(0)+a(0)= a$. поскольку$a<1$, то последовательность сходится.

Может ли кто-нибудь помочь мне, какое из этих доказательств ложное? Делаю ли я какие-нибудь ошибки, какие области я могу улучшить? Спасибо!

Answer 1

Первое доказательство неверно. Когда там написано «но потом$M/a^n\ge n_2^2$ поскольку $n_2\in\mathbb N$"это истинное суждение $$\forall n\in\mathbb N:M/a^n\ge n^2$$ а затем подставив $n_2$ для $n$ только в одном из двух мест , что запрещено. Последовательность$(x_n)$ действительно сходится с $0$.