Правила вычета с использованием множества $\Gamma$помещений против элементарных правил естественного вывода из учебника. Чем они точно отличаются?
В элементарных учебниках правила естественной дедукции представлены следующим образом, например, для $\&$-Вступление
от $\phi$ и $\psi$, сделать вывод $\phi\&\psi$
или
$(n).....\phi$
$(m)....\psi$
$\therefore$
$(p)....\phi\&\psi$.
Я хотел бы знать, насколько следующий способ заявить $\&$-Intro отличается от описанного выше «обычного» учебника изложения. Я имею в виду то, что я нахожу в изложении классической логики Шапиро (https://plato.stanford.edu/entries/logic-classical/#Dedu):
(& I) Если Γ1⊢θ и Γ2⊢ψ, то Γ1, Γ2⊢ (θ & ψ).
(что означает: "если $\theta$ выводится из набора предпосылок $\Gamma_1$ и если $\psi$ выводится из набора предпосылок $\Gamma_2$, тогда $(\theta\&\psi)$ выводится из набора предпосылок $\Gamma_1\cup\Gamma_2$. ")
Можно ли назвать презентацию Шапиро « естественной дедукцией »? Или, скорее, это случай «последовательного исчисления» ?
В сторону: знаете ли вы какой-нибудь учебник по математической логике для начинающих, в котором приводятся примеры выводов в стиле Шапиро?
Ответы
Правило "элементарного учебника" таково: когда$\phi$ и $\psi$ можно вывести, то мы можем сделать вывод, что $\phi\mathop\&\psi$может быть получен . Не указано, что эти выводы имеют место в одном контексте (посылки и предположения). Это правило вывода можно резюмировать как$$\dfrac{~\phi\qquad\psi~}{\phi\mathop\&\psi}{\small\&\mathsf I}$$
Правила «исчисления последовательностей» расширяют это, чтобы явно перечислить, из какого контекста выводятся вещи. То же правило, приведенное выше, может быть затем представлено в контексте ($\Gamma$, набор утверждений) прямо указано: $$\dfrac{~\Gamma\vdash\phi\qquad\Gamma\vdash\psi~}{\Gamma\vdash\phi\mathop\&\psi}{\small\&\mathsf I}$$
Затем мы можем расширить правило так, чтобы сказать: когда$\phi$ и $\psi$может быть получено в контексте$\Gamma_1$ и $\Gamma_2$соответственно, то можно заключить, что$\phi\&\psi$могут быть выведены в едином контексте,$\Gamma_1\cup\Gamma_2$.
$$\dfrac{~\Gamma_1\vdash\phi\qquad\Gamma_2\vdash\psi~}{\Gamma_1\cup\Gamma_2\vdash\phi\mathop\&\psi}{\small\&\mathsf I}$$
Короче говоря: расширенная презентация говорит то же самое, что и простая презентация, но с добавлением некоторых дополнительных деталей.