Предел оценки.

Question

В Н. Пискунове он объяснил дифференциальные уравнения на примере сопротивления воздуха, действующего на падающее тело. После вычисления дифференциального уравнения он получает уравнение для скорости как:$$v = \left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}.$$

Затем он заявляет, что если $k = 0$ тогда уравнение превращается в основное уравнение: $$v = v_o + gt.$$

Теперь я понимаю это утверждение, потому что, когда сопротивление воздуха равно нулю, это уравнение скорости выполняется. Однако я не могу доказать это утверждение, когда оцениваю предел:$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right]$$

Приветствуется любая помощь в оценке предела!

Answer 1

У вас есть

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_oe^{-\frac{kt}{m}} - \frac{mg}{k}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] \\ & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_{o}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} \right] \\ \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1A}$$

Предел первого члена, т. Е. $v_{o}e^{-\frac{kt}{m}}$, просто $v_{o}$. Для второго срока, поскольку предел становится, он собирается$\frac{0}{0}$, используя правило L'Hôpital , дает

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} & = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(-e^{-\frac{kt}{m}}\left(-\frac{t}{m}\right)\right)}{1} \\ & = mg\left(\frac{t}{m}\right) \\ & = gt \end{aligned}\end{equation}\tag{2}\label{eq2A}$$

Вы можете также использовали dnfu «s вопрос комментарий , указанный факт , чтобы получить то же самое значение. Таким образом, объединенный результат \ eqref {eq1A} дает

$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] = v_{o} + gt \tag{3}\label{eq3A}$$

Answer 2

В качестве альтернативы у нас есть стандартный предел $\frac{e^x-1}{x} \to 1$ в виде $x \to 0$

$$ \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} =gt \,\frac{ e^{-\frac{kt}{m}}-1}{-\frac{kt}m} \to gt \cdot 1= g t$$

и результат следует.

Answer 3

С участием

$$e^{-\dfrac{kt}{m}}\approx 1-\dfrac{kt}{m},$$

$$\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\dfrac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}$$

становится

$$v_o+\left(g-\frac{kv_0}m\right)t\approx v_o+gt.$$