Предел в прерывистой точке или арктангенсе

Question

Для интеграла, который мне нужно вычислить, мне нужно вычислить следующий предел:

$$\lim_{t \rightarrow \pi^-} \arctan \left(\frac{\tan(\frac{t}{2})}{3}\right).$$ Я использовал формулу:

$$\tan(\frac{t}{2})= \frac{\sin(t)}{\cos(t)-1}$$ а затем применил правило Лопиталя, чтобы показать, что предел внутри арктангенса равен $\infty$ но, хотя я знаю $\tan(\frac{\pi}{2})$ это также $\infty$, Мне нужно обосновать, что предел $\frac{\pi}{2}$ строго.

Answer 1

В качестве альтернативы мы можем использовать это для $\theta>0$

$$\arctan \theta = \frac \pi 2 -\arctan\left(\frac 1 \theta\right)$$

то есть

$$ \arctan \left(\frac{\tan(\frac{t}{2})}{3}\right) = \frac\pi 2 - \arctan \left(\frac{3}{\tan(\frac{t}{2})}\right) \to \frac \pi 2-\arctan 0=\frac \pi 2$$

Answer 2

Здесь нет неопределенной формы: $$\lim_{t \rightarrow \pi^-} \tan \left( \frac{t}{2}\right) = +\infty$$

так $$\lim_{t \rightarrow \pi^-} \frac{1}{3}\tan \left( \frac{t}{2}\right) = +\infty$$

так $$\lim_{t \rightarrow \pi^-} \arctan\left(\frac{1}{3}\tan \left( \frac{t}{2}\right) \right) = \lim_{x \rightarrow +\infty} \arctan\left(x\right) = \frac{\pi}{2}.$$