Пределы и двойной интеграл?

Question

Определить двойной интеграл $\int \int_{R} ye^y dxdy$, где $R$ является $1\leq x-y \leq 2,\ 1 \leq xy \leq 2$

Мне трудно понять, как я должен думать, чтобы получить пределы.

$x\ne y$ потому что $1\leq xy \leq 2$.

$x$ должно быть как минимум на 1 больше, чем $y$ потому как $\ 1 \leq x-y \leq 2$.

Это дает мне $\begin{matrix} x &y \\ 2 & 1 \\ \end{matrix}$

Могу ли я поэтому сказать, что пределы $0 \leq y \leq 1, 0\leq x\leq 2y$ ?

Answer 1

Вы должны интегрироваться в двух регионах. Точки пересечения

$(\frac{\sqrt5 + 1} {2}, \frac{\sqrt5 - 1} {2}), (2, 1), (\sqrt3 + 1, \sqrt3 - 1), (\sqrt 2 +1, \sqrt2 - 1)$

$(\frac{-\sqrt5 + 1} {2}, \frac{-\sqrt5 - 1} {2}), (-1, -2), (-\sqrt3 + 1, -\sqrt3 - 1), (-\sqrt 2 +1, -\sqrt2 - 1)$

Answer 2

У нас есть это $R$ соответствует полосе между линиями

• $y=x-2$
• $y=x-1$

и гиперболы

• $y=2/x$
• $y=1/x$

Один из способов продолжить - найти точки пересечения для этих областей и затем соответствующим образом интегрировать для каждой части.