Проблема модульной теории чисел

Question

Позволять $k\in\mathbb{N}, 2<p\in\mathbb{P}, p^{\alpha}\mid\mid n,\alpha\ge1$. Затем докажи, что$$1^k+2^k+\ldots+n^k\equiv\begin{cases}\hfill 0\pmod{p^{\alpha}},& p-1\nmid k\\-\frac{n}{p}\pmod{p^{\alpha}},& p-1\mid k\end{cases}$$

Во-первых, я доказал, что $n=p$. Если$p-1\mid k$, то это легко доказать с помощью малой теоремы Ферма. Позволять$p-1\nmid k$. поскольку$p$ простое число, имеет первообразный корень $g$ и это удовлетворяет $\{1,g,g^2,\ldots,g^{p-2}\}=\{1,2,3,\ldots,p-1\}$. Так что достаточно доказать, что$1+g^k+g^{2k}+\ldots+g^{(p-2)k}\equiv 0\pmod p\iff p\mid\frac{g^{(p-1)k}-1}{g^k-1}\iff p\cdot (g^k-1)\mid g^{(p-1)k}-1$. поскольку$(p, g^k-1)\neq1\iff p-1\nmid k$ и $p\mid g^{(p-1)k}-1,g^k-1\mid g^{(p-1)k}-1$, Это верно.

И я не могу продолжать это $n=p^{\alpha}$ (для $p-1\nmid k$, это похоже на $n=p$. Но я не могу доказать$p-1\mid k$), $n=p^{\alpha}\cdot n_1$, где $n_1>1, (n_1,p)=1$и так далее. Может кто-нибудь мне помочь?

Answer 1

Проверить, что достаточно, чтобы показать за $n=p^{\alpha}$.

Покажем это индукцией по $\alpha$.

Если $\alpha=1$тогда это работает. Предположим, что результат верен для$\alpha-1$.

Тогда мод $p^{\alpha}$, $\sum_{m=0}^{p^{\alpha}-1}{m^k} = \sum_{m=0}^{p^{\alpha-1}-1}{\sum_{l=0}^{p-1}{(m+p^{\alpha-1}l)^k}} = \sum_{m=0}^{p^{\alpha-1}-1}{\sum_{l=0}^{p-1}{m^k+kp^{\alpha-1}l}}=p\sum_{k=0}^{p^{\alpha-1}-1}{m^k}+kp^{\alpha-1}\sum_{l=0}^{p-1}{l} = p\sum_{k=0}^{p^{\alpha-1}-1}{m^k} = -p \cdot p^{\alpha-1}/p = -p^{\alpha}/p$.

Answer 2

Рассматривая все как элементы $\Bbb{Z}/p^a\Bbb{Z}$,

• Если $p-1\nmid k$ а затем взять $p\nmid s, s^k \ne 1\bmod p$ $$\sum_{m\bmod p^a} m^k =\sum_{m\bmod p^a} (sm)^k=s^k\sum_{m\bmod p^a} m^k$$ которое значит что $\sum_{m\bmod p^a} m^k=0$.

• Если $p-1|k$ затем возьмите самый большой $b$ такой, что $(p-1)p^b | k$, поскольку $m\to m^k$ , ограниченная единицами, сюръективна к подгруппе элементов вида $1+p^{b+1}l$ мы получаем это $$\sum_{m\bmod p^a} m^k=\sum_{m\bmod p^a,p\ \nmid\ m} m^k+\sum_{m\bmod p^{a-1}} (pm)^k\\=(p-1)\sum_{l\bmod p^{a-1}} (1+p^{b+1} l)+p^k \sum_{m\bmod p^{a-1}} m^k$$ $$ = -p^{a-1}+p^k \sum_{m\bmod p^{a-1}} m^k$$ $$ = -p^{a-1}-p^k p^{a-2}-p^{2k} p^{a-3}-\ldots- p^{(a-1)k} p^{a-a}$$ $$ = -p^{a-1}$$