Проблема теории вероятностей: предельная плотность.

Question

Я изучаю теорию вероятностей и не могу придумать, как найти предельную плотность.

Проблема в :

В качестве A возьмем квадрат с углами в точках (0,1), (1,0), (2,1), (1,2). Найдите предельные плотности f = индикаторной функции A.

Решение:

Исправить $x \in [0,2], \int_0^2 \mathbf{1}_A (x,y)\, dy = m(A_x)$, следовательно $$ f_X(x) = \begin{cases} x, ~\text{for}~x \in [0,1] \\ 2-x, ~\text{for}~x \in [1,2] \\ 0, \text{otherwise} \end{cases} $$(треугольное распределение). По симметрии то же самое верно для$f_Y$.

Не могу понять, как найти f_X (x) с составной частью!

Я думаю, что f_X (x) должно быть '2x' для x в [0,1], 4-2x для x в (1,2] и 0 в противном случае.

Пожалуйста, дайте мне совет!!

Answer 1

Совместное распределение равномерное по площади $A$,

Таким образом

$$f_{XY}(x,y)=\frac{1}{2}\mathbb{1}_{[(x,y)\in A]}$$

Затем сделайте рисунок и рассчитайте маргинальную $f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$

1. Когда $0<X<1$ интеграл следующий

$$f_X(x)=\frac{1}{2}\int_{1-x}^{x+1}dy=x$$

1. Когда $1<X<2$ интеграл следующий

$$f_X(x)=\frac{1}{2}\int_{x-1}^{3-x}dy=2-x$$

В результате получается треугольное распределение, которое можно записать более компактно.

$$f_X(x)=[1-|1-x|]\cdot\mathbb{1}_{[0;2]}(x)$$

Тот же результат для $f_Y(y)$ используя свойства симметрии