Простая задача исчисления

Question

Вот вопрос: найдите максимальную площадь равнобедренного треугольника, вписанного в эллипс. $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$. Мой учитель решил это, посчитав две произвольные точки на эллипсе вершинами треугольника:$(a\cos\theta, b\sin \theta)$ и $(a\cos\theta, -b\sin \theta)$. (Скажем так$\theta$ - тета), а затем приступил к производным тестам (которые я понял). Но он не указал, что наши $\theta$был и объявлен, что эти точки всегда лежат на эллипсе. Почему так? И даже если они это сделают, какова гарантия, что точки такой формы будут нашими необходимыми вершинами? Еще одно, я был бы признателен, если бы вы предложили другой способ решения этой проблемы. Спасибо!

Answer 1

Если верить аргументу симметрии, оптимизировать площадь просто:

$$A_1 = a b \sin \theta (1+ \cos \theta)$$

$$A_2 = a b (1+ \sin \theta) \cos \theta$$

$$0=\frac{\partial A_1}{\partial \theta}=a b [\cos\theta (1+ \cos \theta)-\sin^2 \theta] = ab [\cos^2 \theta - \sin^2 \theta + \cos \theta]$$

$$0=\frac{\partial A_2}{\partial \theta}=a b [\cos^2 \theta - \sin \theta(1+ \sin \theta)]= ab[\cos^2 \theta - \sin^2 \theta-\sin \theta]$$

Решения первого уравнения включают минимум при $\theta=\pi$ и максимумы при $\theta = \mp \frac{\pi}{3}$.

Решения второго уравнения включают минимум при $\theta=-\frac{\pi}{2}$ и максимумы при $\theta = \frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}.$

Интересно, что мы получаем решения, согласованные с $x-$ось и $y-$ось!

Вы, конечно, можете решить проблему, взяв три произвольные точки на эллипсе, ограничив их лежащими на равнобедренных треугольниках, а затем используя множители Лагранжа. Решения будут найдены выше.