Проверка серии пределов

Question

Я любезно спрашиваю, верны ли мои шаги для этих ограничений.

Я начинаю, всегда сразу же, проверять домен, и это совет для моих учеников старшей школы.

У меня есть, например, эта функция, где домен

$$\operatorname{dom}\left(\frac{(1-x)^{\sqrt x}}{x-2}\right)=\{x\in \Bbb R \colon 0\leq x \leq 1\}$$

и я думаю, что это невозможно написать $x\to +\infty$

Если у меня есть функция $g(x)=\left(\frac{x-1}{x-2}\right)^{\sqrt x}$ где возможно иметь $x\to +\infty$, мои шаги:

$$\lim _{x\to +\infty }\left(\frac{x-1}{x-2}\right)^{\sqrt x}=\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{x-2}\right)^{\sqrt x}= \lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{x-2}\right)^{\frac{(x-2)\sqrt x}{x-2}} $$

$$=\lim_{x\to +\infty}\left[\left(1+\frac{1}{x-2}\right)^{x-2}\right]^{\sqrt{\frac{x}{(x-2)^2}}}=e^0=1 $$

Если функция:

$$\psi(x)=\frac{(x-1)^{\sqrt x}}{x-2}$$

из простой области возможно, что $x\to +\infty$, $$\lim _{x\to +\infty }\frac{(x-1)^{\sqrt x}}{x-2}=\lim _{x\to +\infty }\frac{e^{\sqrt{x}\ln \left(x-1\right)}}{x-2}=\frac{e^{\lim _{x\to +\infty}x\sqrt{x}\,\frac{\ln (x-1)}{x}}}{x-2} \tag{A}$$

Существование $$\lim _{x\to +\infty \:}\frac{\ln \left(x-1\right)}{x}=0 \tag{B}$$

У меня будет показатель степени $x\sqrt{x}\,\frac{\ln (x-1)}{x}$ (в последнем шаге (A)) неопределенная форма $(\infty\cdot0)$. Есть ли стратегия без использования правила Л'Опиталя для (A)?

Answer 1

Давайте не будем использовать правило L'Hopital в $(A)$.

$$\bbox[yellow,5px,border:2px solid red]{\frac{(x-1)^{\sqrt x}}{x-2}=\frac{x^{(\sqrt x-1)}(1-x^{-1})^{x(\sqrt x)^{-1}}}{1-2x^{-1}}=P(x)\cdot Q(x)}\tag{1}$$

куда, $$P(x)=x^{(\sqrt x-1)}, \quad \text{and} \quad Q(x)=\frac{(1-x^{-1})^{x(\sqrt x)^{-1}}}{1-2x^{-1}}$$

Обратите внимание, что $\lim_{x\to \infty} Q(x)=1$ ($\,\text{Numerator}$ из $Q(x)$ как правило $e^0=1$).

Предположим противное, что предел в $(1)$ существует (конечно) как $x\to \infty$ и равен $L\in \mathbb R$.

Следовательно, по предельным правилам $P(x)=\dfrac{P(x)Q(x)}{Q(x)}\implies \lim_{x\to \infty} P(x)=L$, что является противоречием (понимаете почему?).

Следовательно, предел не существует бесконечно.