размер модуля и простых модулей
Я пытаюсь осмыслить эти новые концепции. Предположим, у меня есть сценарий, в котором$V$ это бесплатный модуль, а также $V$ является конечномерным модулем, если V простой, должен $V$ быть измерением $1$?
Защита:
Модуль называется простым, если любой подмодуль такого модуля либо $\{0\}$ или себя.
Я думаю, что если у нас есть $A$-модуль $V$ который также является конечномерным, тогда скажем $V=\langle v_1,\cdots,v_n\rangle$, со скалярами происходят из $A$, то, конечно, если мы возьмем любое собственное подмножество таких базисных векторов, их промежуток будет надлежащим подмодулем $V$? Следовательно$V$ просто, только если $n=1$? (конечно, обратное неверно, если$n=1$ тогда это не обязательно будет просто)
Мне кажется, что с моим аргументом что-то не так, я, должно быть, перепутал что-то из модулей с линейной алгеброй.
Ответы
если $V$ просто, должен $𝑉$ быть размерностью 1?
Нет. Простота модуля алгебры над полем мало что говорит о его размерности.
Рассмотрим кольцо матриц $R=M_2(F)$ для поля $F$.
потом $F\times F$рассматривается как право $R$ модуль, использующий умножение матриц, представляет собой простой модуль, который $2$ размерный над $F$.
Другой пример с той же идеей: пусть $V$ - бесконечномерное векторное пространство, и $E$- его кольцо линейных преобразований. потом$V$ на самом деле простой $E$ модуль, и еще $V$ имеет бесконечный $F$ измерение.
Все это предполагает, что вы имели в виду «измерение» в том виде, в котором оно используется чаще всего: как инвариант векторного пространства. Если на самом деле вы имели в виду какой-то другой тип измерения, вам нужно будет указать. Вы могли бы говорить о нескольких. Например, если под размерностью вы имели в виду «длину композиции», то да , простой модуль имеет длину композиции.$1$.