Решение $x^3-3x^2+4x-12=0$ Без факторинга (метод Кардано)
Вопрос: решить $$x^3-3x^2+4x-12=0$$ без факторинга (метод Кардано?)
Итак, мне сначала нужно разложить уравнение, чтобы сделать замену $x=z+1$. Мы знаем, что это подстановка, потому что она должна иметь вид$z-\frac{a_2}{3a_3}=z-\frac{-3}{3(1)}=z+1$. Это дает нам
$$z^3+z-10=0$$
По методу Кардано мы знаем, что $p=1$ и $q=-10$. Таким образом, мы имеем
$$1=-3ab \qquad -10=-a^3-b^3$$
Решение этой системы дает (я считаю) для $a$ дает
$$a=\sqrt[3]{5\pm\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
$$b=\sqrt[3]{5\mp\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
и так
$$z=a+b=\sqrt[3]{5\pm\frac{26\sqrt{3}}{9}}+\sqrt[3]{5\mp\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
Я попытался уменьшить это как можно лучше, но не могу найти ни одного из решений.
Если бы я разложил исходное уравнение на множители, я бы получил
$$x^3-3x^2+4x-12=x^2(x-3)+4(x-3)=(x^2+4)(x-3) \Rightarrow x=3, \pm2i$$
Так где я делаю свою ошибку?
Ответы
Ваши расчеты верны, но необходимо выполнить метод Кардано. После того, как вы подсчитали$a$ и $b$, корни депрессивной кубики следующие:
$$ \displaystyle z_{1}=a+b \\ {\displaystyle z_{2}=a\cdot \left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+b\cdot \left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)} \\ {\displaystyle z_{3}=a\cdot \left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+b\cdot \left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)} $$
Поскольку в вашем случае $a=1+2/\sqrt{3}$ и $b=1-2/\sqrt{3}$ (см. ниже процедуру денестирования для получения этих значений), формулы дают
$$z_1=2 \\ z_2=-1+2 i \\ z_3=-1-2 i$$
Так как $x=z+1$, у тебя есть
$$x_1=3 \\ x_2=2 i \\ x_3=-2 i$$
РЕДАКТИРОВАТЬ: как правильно указано в комментариях, ключевая проблема при применении метода Кардано заключается в том, что в некоторых случаях необходимо уменьшить некоторые кубические корни. Иногда это может быть довольно сложно. О некоторых методах уже сообщалось ранее по ссылкам в одном из комментариев. Я бы предложил возможный подход, который иногда хорошо работает для подкоренного выражения формы$J+K\sqrt{n}$. Методы включают следующие шаги:
задайте кубический корень в виде $\sqrt[3]{J\pm K\sqrt{n}}$, с участием $J$ и $K$ целые числа;
Предположим, что подкоренное выражение $A=J\pm K\sqrt{n}$ можно выразить как $(j\pm k\sqrt{n})^3$, с участием $j$ и $k$ рациональное число;
после расширения $(j\pm k\sqrt{n})^3$ и разделив его члены на две группы, суммы которых равны $J$ и $K\sqrt{n}$, используйте полученные уравнения для определения $j/k$. Это более длительный шаг, поскольку он требует поиска рациональных корней нового кубического уравнения с использованием теоремы о рациональных корнях, что иногда может быть сложно;
наконец, определим значения $j$ и $k$.
Чтобы лучше проиллюстрировать этот метод, давайте попробуем его для конкретного случая. $\sqrt[3]{5+ \frac{26\sqrt{3}}{9}}$ (тот же метод можно использовать для случая, когда подкоренное выражение $5-\frac{26\sqrt{3}}{9}$). Во-первых, мы должны установить подкоренное выражение так, чтобы$J$ и $K$ целые числа:
$$\sqrt[3]{5 + \frac{26\sqrt{3}}{9}}=\frac{1}{3} \sqrt[3]{135+ 78\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \sqrt[3]{A} $$
Теперь давайте предположим $A=(j+k\sqrt{3})^3$. Следовательно
$$A= j^3+3\sqrt{3}j^2k+ 9jk^2+3\sqrt{3}k^3\\ =j(j^2+9k^2)+3k(j^2+k^2)\sqrt{3}$$
так что мы можем написать
$$j(j^2+9k^2)=135\\ 3k(j^2+k^2)=78$$
Обратите внимание, что $j$ и $k$оба должны быть положительными. Из двух приведенных выше уравнений имеем
$$78\cdot j(j^2+9k^2) =135\cdot 3k(j^2+k^2)$$
Теперь мы должны попытаться определить $j/k$. Разделение обоих членов на$k^3$ и перемещая все термины в LHS, мы имеем
$$78\left(\frac{j}{k}\right)^3 - 405 \left(\frac{j}{k}\right)^2 + 702\left(\frac{j}{k}\right) - 405=0 $$
Настройка $x=j/k$ и упрощая коэффициенты, получаем
$$26 x^3-135 x^2+234x-135=0$$
Используя теорему о рациональном корне, мы можем найти рациональный корень $p/q$ для последнего уравнения, где целое число $p$ разделяет $135=3^3\cdot 5$ и целое число $q$ разделяет $26=2\cdot 13$. Чтобы ускорить поиск настоящего корня, можно заметить, что для$x=1$ и $x=2$ LHS дает $-10$ и $1$соответственно, так что значение одного действительного корня должно быть между $1$ и $2$. После нескольких попыток мы легко получаем$x=3/2$. Тогда уравнение можно переписать как
$$\left(x-\frac 32\right)\left( 26x^2-96x+90\right)=0$$
откуда мы прямо получаем, что два других корня не настоящие.
поскольку $x=j/k=3/2$, мы можем окончательно определить $j$ и $k$ сделав замену $k=2j/3$в исходных уравнениях. Например, подставив в уравнение$(j^2+9k^2)=135$, у нас есть
$$j\left[j^2+9\left(\frac{2j}{3}\right)^2\right]=135$$ $$5j^3=135$$
и напоминая, что $j$ и $k$ положительные,
$$j=3$$
$$k=2$$
Теперь мы можем сделать вывод, что
$$A=(3+2\sqrt{3})^3$$
так что начальный кубический корень
$$\sqrt[3]{5 + \frac{26\sqrt{3}}{9}}=\frac 13 \sqrt[3]{A}= \frac 13 \left(3+2\sqrt{3}\right)\\=1+\frac{2}{\sqrt{3}}$$
Опять же, необходимо отметить, что этот метод работает только в некоторых случаях (даже когда рациональное $j$ и $k$ существуют, наиболее важным ограничивающим шагом является поиск рационального корня $x$, что, как уже было сказано, может быть очень сложно).
Помимо обратного замещения $x=z+1$чтобы завершить процесс решения, вы не ошиблись. В Casus irreducibilis обычно описывается для кубических уравнений с тремя вещественными корнями, но подобная проблема возникает , когда рациональный корень (и в этом случае он не должен быть все три корня). По сути, вы не можете упростить свое радикальное выражение, чтобы получить$z=2$аналитически; вы должны заранее угадать рациональный корень (или сделать эквивалентное предположение с использованием другого кубического уравнения с аналогичной структурой, как обсуждается в другом ответе).
Когда я выражаю твое выражение $z$ в калькулятор я получаю $2.000000...$, что кажется довольно близким к предполагаемому значению $z=2$.