Решетки над модулями
Стандартная конструкция решеток в $\mathbb{R}^n$ можно обобщить, взяв любое конечномерное векторное пространство $V$ над полем $F$ и подкольцо $R$ из $F$, согласно Википедии (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Lattice_(group).
Есть ли причина, по которой здесь рассматриваются только конечномерные векторные пространства, а не свободные модули конечного ранга? Решетка по-прежнему должна образовывать аддитивную подгруппу, и я думаю, что свойство базисов давать изоморфные решетки также должно быть таким же. Есть ли какое-нибудь важное свойство, которое теряется при этом дальнейшем обобщении, которое мне не хватает?
Ответы
Важное свойство теории решеток - это внутренний продукт, который вы получаете от $\mathbb{R}^n$, а также связанные объекты, такие как том.
Многие из интересных и полезных теорем происходят из взаимодействия между алгебраическими и геометрическими структурами, например теорема Минковского и ее приложение к геометрии чисел. Геометрия также важна для ее приложений в криптографии , поскольку для того, чтобы говорить о таких вещах, как задача о кратчайших векторах , нужна норма.
Эквивалентное определение решеток - определить их как свободные $\mathbb{Z}$модуль снабжен квадратичной формой. Следующее обобщение появляется на странице 3 книги Эбелинг «Решетки и коды».
Определение: Пусть$R$коммутативное кольцо с единицей. Модуль симметричной билинейной формы$(S,b)$ над $R$ пара, состоящая из свободных $R$-модуль $S$ ранга $n$, и симметричная билинейная форма $b : S \times S \to R$.
Предложение 1.1 (Ебелинг) В интегральные решетки в$\mathbb{R}^n$ (решетки, где каждое скалярное произведение является целым числом) являются модулями симметричной билинейной формы над целыми числами, где $b$ является положительно определенной симметричной билинейной формой.
В тексте упоминается, что модули симметричной билинейной формы над $\mathbb{Z}$ без свойства положительной определенности изучаются в главе 4, а примеры над кольцами целых чисел изучаются в главе 5. Вы можете найти их интересными для ознакомления.