Решить $n < e^{6 \sqrt{n}}$

Question

Найдите, для каких значений $n \in \mathbb{N}$ он считает, что $$n < e^{6 \sqrt{n}}.$$

Я пытался использовать неравенство $(1 + x) \leq e^x$, но отсюда я могу найти, что неравенство выполняется для $n > 36$. Но мне нужно получить$n$ как можно меньше.

Я тоже пробовал индукцию на $n$, но я застрял на индукционной ступени. В частности, показывая, что$e^{6\sqrt{n}} + 1 \leq e^{6\sqrt{n+1}}$.

Я ценю любую помощь и предложения.

Answer 1

У нас есть $e^{3x} > 3x \ge x$ для $x\ge 0$. Применить это к$x = \sqrt{n}$ получить $e^{3\sqrt{n}} > \sqrt{n}$. Выровняйте обе стороны, и вы получите$e^{6\sqrt{n}} > n$ для всех $n\ge 0$.

Answer 2

(Основываясь на подсказке от user2661923, см. Комментарии выше.)

Я установил $f(x) = e^{6\sqrt{x}} - x$. Первый вывод$f(x)$ является $$f'(x) = 3 \frac{e^{6\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} - 1.$$

Отметим, что $f(1) = e^6 - 1 > 0$. Более того, нетрудно проверить, что$f'(x) > 0$ для $x \in [1, +\infty)$. Таким образом$f$ увеличивается на $[1, +\infty)$ и $f(1) > 0$. Следовательно$f(x) > 0$ для всех $x \in [1, +\infty)$. Это означает, что$x < e^{6\sqrt{x}}.$

И мой вопрос легко следует.

Answer 3

Неравенство выполняется для всех положительных $x$, настолько эффективно, что доказательства кажутся излишними :-)

(Заметить, что $0<e^{6\sqrt0}$ и $1<\dfrac6{2\sqrt x}e^{6\sqrt x}$.)

---

Или используя Тейлора,

$$n<1+6\sqrt n+18n+\cdots$$