Ретракт симметрической алгебры

Question

Если рассматривать векторное пространство над алгебраически замкнутым полем $k$ характерного $0$, имеем следующую точную последовательность:

$$0\rightarrow \wedge^{2}V\rightarrow \text{T}^{2}V\rightarrow\text{S}^{2}(V)\rightarrow 0\text{,}$$ где $\wedge^{2}, \text{T}^{2}$ и $\text{S}^{2}$обозначает компоненту второй степени внешней алгебры (соответственно тензорной и симметрической алгебры). Фактически, мы можем явно определить ретракт$$\text{S}^{2}(V)\rightarrow\text{T}^{2}(V)$$ что просто: $$v_{1}\cdot v_{2}\mapsto \frac{1}{2!}\sum_{\sigma\in S_{2}}v_{\sigma(1)}\otimes v_{\sigma_{2}}\text{.}$$ У меня следующий вопрос: можем ли мы явно описать ядро ​​карты? $$\text{T}^{n}(V)\rightarrow\text{S}^{n}(V)$$как прежде? В общем случае определить ретракт несложно, достаточно заменить$2$ по $n$, а как мы описываем ядро? Что происходит в случае$n=3$ и $n=4$ (какие должны быть самыми простыми)?

Спасибо за уделенное время.

Answer 1

(Ниже мне нужно $k$ иметь нулевую характеристику, которую можно ослабить до характеристики больше, чем $n$, но мне не нужно, чтобы он был алгебраически замкнут.)

Это зависит от того, что вы подразумеваете под «явно». Абстрактно двойственность Шура-Вейля означает, что тензорная степень$V^{\otimes n}$ распадается под действием коммутирующих действий $GL(V)$ и $S_n$, в прямую сумму функторов Шура

$$V^{\otimes n} \cong \bigoplus_{\lambda \vdash n} S^{\lambda}(V) \boxtimes M^{\lambda}$$

соответствующие разделы $n$. Это и есть разложение на неприводимые представления$GL(V)$, и когда $n \ge 3$ их строго больше, чем просто симметричная и внешняя сила.

Например, когда $n = 3$ есть три функтора Шура, которые можно рассматривать как соответствующие трем неприводимым представлениям $S_3$:

• Симметричный куб $S^3(V)$, соответствующее тривиальному представлению $S_3$,
• Внешний куб $\wedge^3(V)$, соответствующий знаковому представлению $S_3$, и
• Функтор Шура $S^{(2, 1)}(V)$, у которого нет известного мне имени, соответствующего нетривиальному $2$-мерное неприводимое представление $S_3$.

Итак, ядро ​​отображения симметризации $V^{\otimes 3} \to S^3(V)$ изоморфна, как $GL(V)$-представительство, чтобы $\wedge^3(V) \oplus 2 S^{(2, 1)}(V)$.

Под словом «соответствует» я подразумеваю следующее. Если$M^{\lambda}$является модулем Шпехта (неприводимым представлением)$S_n$ помеченный $\lambda$, тогда $S^{\lambda}(V)$ построен как $V^{\otimes n} \otimes_{S_n} M^{\lambda}$. Изотипический компонент$S^{\lambda}(V)$ в $V^{\otimes n}$ можно выделить как образ идемпотента

$$\frac{\dim M^{\lambda}}{n!} \sum_{\pi \in S_n} \chi_{\lambda}(\pi^{-1}) \pi$$

(где $\chi_{\lambda}$ является персонажем модуля Шпехта $M^{\lambda}$), который воспроизводит знакомый идемпотент симметризации в применении к тривиальному представлению и знакомый идемпотент антисимметризации в применении к представлению знака, как и ожидалось. Таким образом, все это можно сделать так же явно, как вы можете записать таблицу символов$S_n$.