Сгенерированные сигма-алгебры
Я не математик, скорее, я подбираю темы на ходу, когда мне нужно что-то по теме, которую я изучаю в данный момент. Так что я прошу прощения, если для большинства из вас это будет тривиально, и извиняюсь за любые концептуальные ошибки, которые я мог допустить в описании - я постараюсь быть как можно точнее.
На данный момент я изучаю теорию вероятностей по этому курсу: https://www.youtube.com/playlist?list=PL5B3KLQNAC5jT6yjV1199ji1zUy1YUp6P , [в целях понимания стохастического исчисления для финансов (Том II - С. Шрив)], и я наткнулся на сигма-алгебры.
Хотя я понимаю концепцию; если у нас есть набор, который является набором подмножеств Омеги (т. е. если у нас есть набор событий), обозначенный F, то F является сигма-алгеброй, если он удовлетворяет следующим трем условиям;
- Омега принадлежит к F,
- F замкнуто относительно дополнений,
- F замкнут относительно счетных объединений
Пока все хорошо, и я также понимаю свойства, вытекающие из определения, а также то, как они получены. Вдобавок я знаю, что у нас есть тривиальная сигма-алгебра, наименьшая сигма-алгебра на Омеге и дискретная сигма-алгебра, которая является степенным множеством Омеги, являющейся самой большой сигма-алгеброй на Омеге.
Моя проблема связана с сгенерированными сигма-алгебрами. Я понимаю определение; Пусть A - произвольный набор подмножеств Омеги, тогда сигма (A) - это порожденная сигма-алгебра, порожденная из A, и является наименьшей сигма-алгеброй, содержащей A. Кроме того, мы можем найти наименьшую сигма-алгебру, пересекая все сигма-алгебры, содержащие A , поскольку пересечение сигма-алгебр также является сигма-алгеброй.
Последнюю часть я не понимаю и сбиваю с толку. Я понимаю, что у нас есть набор степеней Омеги, который определенно содержит набор A. Но что именно мы имеем в виду, пересекая все сигма-алгебры, содержащие A, чтобы найти наименьшую из них, содержащую A? Означает ли это, что если у нас есть сигма-алгебра, содержащая набор A и другой набор подмножеств, B (которая является сигма-алгеброй, содержащей A, но я понимаю, что она не наименьшая), и пересекаем ее с множеством степеней Омеги, мы генерируем сигму (A), которая действительно является самой маленькой и более тонкой, чтобы ответить на вопросы, которые нам нужны в нашей проблеме? Но откуда именно взялась большая сигма-алгебра (в коллекциях A и B)?
Если бы кто-нибудь мог дать более интуитивное объяснение или даже лучше привести пример (конечный, как бросок кубика), я был бы очень благодарен.
Большое спасибо за то, что вы прочитали это! :)
Ответы
Дело не в том, чтобы $\sigma$-алгебра $B$ содержащий $A$ и пересечь его со степенью $\Omega$. (Обратите внимание, что если$B$это любая совокупность подмножеств$\Omega$, и $P(\Omega)$ это сила $\Omega$, тогда $B\cap P(\Omega)=B$. Таким образом, пересекаясь с множеством степеней$\Omega$ мало что делает.) Дело в том, что если у нас есть два $\sigma$-алгебры $B_1$ и $B_2$ которые содержат $A$, тогда $B_1\cap B_2$ также $\sigma$-алгебра, содержащая $A$(упражнение). Более того,$B_1\cap B_2$ будет меньше чем $B_1$ и $B_2$ (если только один из $B_1$ или же $B_2$ содержит другой).
Так $\sigma(A)$доводит эту идею до крайности: мы пересекаем все $\sigma$-алгебры, содержащие $A$. В символах пусть$\mathscr{B}$ быть набором $\sigma$-алгебры на $\Omega$ которые содержат $A$. потом$\sigma(A)=\bigcap_{B\in\mathscr{B}}B$. потом$\sigma(A)$ это $\sigma$-алгебра, содержащая $A$ (упражнение), а если $B$ это $\sigma$-алгебра, содержащая $A$ тогда $\sigma(A)\subseteq B$по определению. Так что есть смысл позвонить$\sigma(A)$ наименьший $\sigma$-алгебра, содержащая $A$, или $\sigma$-алгебра, порожденная $A$.
Теперь вы спрашиваете, где эти большие $\sigma$-алгебры, и это очень многое зависит от конкретного примера. В общем, сборник$\mathscr{B}$выше может быть довольно сложно. Самое большее, что мы можем сказать в целом, это то, что всегда есть хотя бы один$\sigma$-алгебра в $\mathscr{B}$, а именно, мощность $\Omega$.
Построение $\sigma(A)$ описанное выше хорошо подходит для определения, но его довольно сложно применить на практике, потому что это может быть сложно или, по крайней мере, очень долго, чтобы вычислить $\mathscr{B}$. Учитывая конкретный$A$, если кто-то хочет получить более подробное описание $\sigma(A)$тогда это обычно включает в себя вычисление семейств множеств, которые должны быть в любом$\sigma$-алгебра, содержащая $A$ пока вы не создадите семью, которая сама по себе $\sigma$-алгебра. Действительно, если вы можете собрать коллекцию$B$ который является $\sigma$-алгебра, содержащая $A$ и должен содержаться в любом $\sigma$-алгебра, содержащая $A$, то следует, что $\sigma(A)=B$.
когда $\Omega$ конечно, идея грубой силы немного более разумна, потому что вы можете просто начать закрывать $A$ под пересечениями и дополнениями, пока не получите алгебру.
Рассмотрим, например, реальную линию и совокупность всех одноточечных множеств $\{\{x\}: x \in \mathbb R\}$. Одна сигма-алгебра, содержащая эти множества, - это множество степеней. Другой - это семейство всех счетных множеств и их дополнений. Есть еще много других. Теперь возьмем наборы, общие для всех таких сигма-алгебр. Это дает сигма-алгебру, порожденную нашей семьей. В этом случае это точно счетные множества и их дополнения. Причина: любая сигма-алгебра, содержащая синглтоны, должна содержать все счетные множества (поскольку они являются счетными объединениями синглетонов). Он также должен содержать их дополнения. Следовательно, наименьшая сигма-алгебра, содержащая все одиночные элементы, является в точности семейством всех счетных множеств и их дополнений.