Симметричный матричный оператор

Question

Позволять $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ - симметричная матрица с собственными значениями $\lambda_1\geq \lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_n$ и спектральное разложение: $$ A = PDP^{\top}, $$ где $D = \text{diag}(\lambda_1,...,\lambda_n)$ и $P$ ортогонален.

Позволять $\mathcal{S}\subset\mathbb{R}$ набор такой, что $\lambda_i\in\mathcal{S}$ для всех $i$, и определим некоторую функцию $f:\mathcal{S}\to\mathbb{R}$.

Определим матрицу $f(A)$ так как $$ f(A) = Pf(D)P^{\top}, $$ где $$ f(D) = \text{diag}(f(\lambda_1),...,f(\lambda_n)). $$

Является $f(A)$ хорошо определено?

То есть спектральное разложение $A = PDP^{\top}$ не уникален, так как могло быть $i,j$ ул $\lambda_i=\lambda_j$, что провоцирует $P$ не уникален.

Любое понимание будет оценено!

Answer 1

Это хорошо определено. Причина в том, что$f(D)$ можно выразить как полином от $D$ (степень и коэффициенты которого зависят от $f$ и $D$), что делает $f(A)$ выражается как многочлен от $A$. Фактически, если$\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_m$эти различные собственные значения$A$ и $g$ - интерполяционный полином Лагранжа $$ g(x)=\sum_{i=1}^m\prod_{j\ne i}\frac{x-\mu_j}{\mu_i-\mu_j}f(\mu_i), $$ тогда $g(\mu_i)=f(\mu_i)$ для каждого $i$. (В угловом случае, когда$A=\mu I$, мы определяем $g$ как постоянный многочлен $f(\mu)$.) Следовательно $g(\lambda_i)=f(\lambda_i)$ для каждого $i$ (потому что каждый $\lambda_i$ некоторые $\mu_k$), $f(D)=g(D)$ и $Pf(D)P^T=Pg(D)P^T=g(PDP^T)=g(A)$. поскольку$g$зависит только от неупорядоченного множества собственных значений$A$ но не на $P$ или по заказу $\lambda_i$s по диагонали $D$, продукт $Pf(D)P^T$ всегда дает одно и то же значение, а именно $g(A)$независимо от проведенного спектрального разложения.

Answer 2

Потому что $P^\perp P=I$, $$ A^2 = (PDP^\perp)^2=PDP^{\perp}PDP^{\perp}=PD^2P^\perp \\ A^n = PD^nP,\;\;\; n=1,2,3,\cdots. $$ Определить $P^0=I$. Тогда, если$p$ - многочлен, $$ p(A)=Pp(D)P^\perp. $$ Для диагональной матрицы $D$ с диагональю $d_1,d_2,\cdots,d_N$, это определение $p(D)$ дает диагональную матрицу с диагональю $p(d_1),p(d_2),\cdots,p(d_N)$. Это согласуется со стандартным вычислением полинома с матрицей$A$. И вы можете это видеть$(pq)(A)=p(A)q(A)$ Например.