Синус суммы доказательства

Question

Я доказываю формулу $$ \sin{ \left(x+y \right)} =\sin{x} \cos{y}+\cos{x} \sin{y}$$с помощью формулы Эйлера. Эта формула суммы нужна при доказательстве производной синуса.

Меня только интересует, могу ли я привести круговой аргумент, поскольку все доказательства формулы Эйлера, которые я видел, требуют знания производных синуса и косинуса.

Answer 1

Альфорс в своей книге комплексного анализа определяет $e^z$ чтобы удовлетворить уравнению $f'(z)=f(z)$ для всех $z$ в комплексной плоскости, и $f(0)=1$. Из этого определения он выводит разложение в степенной ряд$e^z$и покажите, что он везде сходится. Также он показывает$e^{a+b}=e^ae^b$с использованием правила Лейбница для производных. Затем определяет$\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ и $\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$. Из этой формулы Эйлера выводится без производной от$\sin$.