Слабый $L^p$ сходимость для предельного перехода в кусочно-линейном приближении знаковой функции?

Aug 16 2020

Рассматривать $$ S_\epsilon(\xi) = \begin{cases} 1 & \text{ if } \xi > \epsilon \\ \xi/\epsilon &\text{ if } |\xi| < \epsilon \\ -1 &\text{ if } \xi < - \epsilon \end{cases}$$ который представляет собой сглаженную версию $\mathrm{sign}$ функция.

Предположим, что $u_n \to u$ слабо в $L^p([0,1])$ для всех $p \in [1,\infty]$ в виде $n \to \infty$. Это правда, что$S_\epsilon(u_n-1) \to S_\epsilon(u-1)$ слабо в некоторых $L^p$?

Ответы

1 StephenMontgomery-Smith Aug 26 2020 at 00:40

Предположим $\epsilon \le 1$. На$[0,1]$, позволять $$ u_n(x) = \cases{ 4 & if $x \ in \ left [\ tfrac {2j} {2n}, \ tfrac {2j + 1} {2n} \ right)$\\ 0 & if $x \ in \ left [\ tfrac {2j + 1} {2n}, \ tfrac {2j + 2} {2n} \ right)$. } $$ потом $u_n \rightharpoonup 2$ в $L^p([0,1])$ за $1 \le p < \infty$, но $S_\epsilon(u_n-1) \rightharpoonup 0 \ne \epsilon = S_\epsilon(2-1)$.

Не уверен насчет $p = \infty$, но я сомневаюсь, что этот контрпример работает.