Связка подпучка

Question

Позволять $\mathscr{F}$ быть подпучкой связки $\mathscr{H}$. Если я правильно понял, в данном случае связка имеет особенно простой вид. Это пучок, определяемый$$\widetilde{\mathscr{F}}(U)=\{s\in \mathscr{H}(U)\:|\:s\text{ locally lies in }\mathscr{F}\},$$ где мы говорим, что $s\in \mathscr{H}(U)$ локально лежит в $\mathscr{F}$ есть открытая крышка $\{U_i\}$ из $U$ такой, что $s|_{U_i}\in \mathscr{F}(U_i)$ для каждого $i$.

Ясно, что это действительно пучок, но я не могу понять, насколько он удовлетворяет универсальному свойству пучка.

Я думал о том, чтобы сделать это следующим образом: я действительно считаю, что эта конструкция функториальна в $\mathscr{F}$. Предположим, что, учитывая морфизм$\mathscr{F}\to\mathscr{G}$ у нас должен быть индуцированный морфизм $\widetilde{\mathscr{F}}\to\widetilde{\mathscr{G}}$ что совпадает с нашим исходным морфизмом при ограничении $\mathscr{F}$. Если$\mathscr{G}$ это связка, $\widetilde{\mathscr{G}}=\mathscr{G}$и таким образом получается желаемый морфизм. Но я не совсем понимаю, почему эта конструкция функториальна в$\mathscr{F}$.

Answer 1

Учитывая связку $\mathscr{G}$ и морфизм предпучков $f:\mathscr{F}\to \mathscr{G}$, вы можете напрямую построить морфизм предварительных пучков (и, следовательно, пучков) $\widetilde{f}:\widetilde{\mathscr{F}}\to \mathscr{G}$ что расширяет $f$. Учитывая раздел$s\in \widetilde{\mathscr{F}}(U)$, выберите любую открытую обложку $\{U_i\}$ из $U$ так что ограничения $s\mid_{U_i}$ роды $\mathscr{F}$. Тогда вы можете подать заявку$f$ каждому из этих ограничений и приклейте их изображения, чтобы $\widetilde{f}(s)\in \mathscr{G}(U)$. Нетрудно проверить, что это четко определено, т.е. не зависит от открытой крышки, и что на самом деле$\widetilde{f}$ является уникальным продолжением $f$. Последнее показывает, что$\widetilde{\mathscr{F}}$ это связка.

Что касается упомянутой вами функториальности, поскольку ваше определение требует выбора пучка $\mathscr{H}$, Я не уверен, как это понять (конечно, вы знаете, что связка функциональна по универсальному свойству).

Answer 2

Я предполагаю $\mathscr H$ является пучком абелевых групп на топологическом пространстве $X$.
поскольку$\mathscr H$ является пучком, в силу универсального свойства пучков морфизм предпучков $\iota:\mathscr F\hookrightarrow\tilde {\mathscr F} $ факторы через $\mathscr F\xrightarrow{j}\mathscr F^{sh}\xrightarrow{\bar \iota }\tilde{\mathscr F}$. Чтобы увидеть это$\bar \iota: \mathscr F^{sh}\rightarrow \tilde {\mathscr F}$является изоморфизмом, достаточно проверить на уровне стеблей.
Обратите внимание, что на уровне стеблей у нас есть$x\in X$, базовое пространство, композиция $$\mathscr F_x\xrightarrow{j_x}\mathscr F^{sh}_x\xrightarrow{\bar \iota_x }{\tilde{\mathscr F}}_x=\mathscr F_x $$что это личность. Более того,$j_x$является изоморфизмом. Это исходит из самой конструкции связки. Таким образом$\bar \iota_x$ является изоморфизмом для любого $x\in X$ и, следовательно $\bar \iota $ является изоморфизмом.

Примечание: стандартная конструкция$\mathscr F^{sh}$ рассматривать $\mathscr F$ как подпружиненный пучок стеблей $\mathscr H(U):=\{\prod_{x\in U}s_x: s_x\in \mathscr F_x \}$ а потом посмотри на $\tilde {\mathscr F}$ в этой связке.