Теорема Крамера-Вольда.

Question

Теорема (устройство Крамера-Вольда): распределение случайного $n$-вектор $X$ полностью определяется набором всех одномерных распределений линейных комбинаций $t^TX$, куда $t$ колеблется во всех фиксированных $n$-векторы. $$$$ Доказательство. $ Y: = t ^ TX $ имеет характеристическую функцию: $$ \ phi_Y (s): = E [e ^ {isY}] = E [e ^ {ist ^ TX}] $$ Если мы знаем распределение каждого $ Y $ , мы знаем его CF $ \ phi_Y (s) $ . В частности, взяв $ s = 1 $ , мы знаем $ E [e ^ {ist ^ TX}] $ . Но это CF для $ X = (X_1, \ ldots, X_n) ^ T $, оцененный как $ t = (t_1, \ ldots, t_n) ^ T $ . Но это определяет распределение $ X. $

Мои вопросы:

1. Если $ s = 1 $, то теряет ли общность доказательство? Почему нет?
2. Моя интерпретация доказательства состоит в том, что если линейная комбинация вектора и вектора имеет одну и ту же характеристическую функцию, то их распределение одинаково. Верна ли эта интерпретация? 3) Что в теореме означает «полностью определено»?

Answer 1

• Я не понимаю, что вы подразумеваете под "терять общность" в своем первом вопросе. Единственная «общность» в доказательстве, которая кажется мне важной, состоит в том, что оно должно работать для любого$\ n$-вектор и для любого $\ n\ $, что он и делает. Положив$\ s=1\ $ это всего лишь один шаг в доказательстве, шаг, который вы можете законно сделать независимо от того, какие значения $\ n\ $ и $\ X\ $ есть, поэтому это не налагает на них никаких ограничений.

• Вектор - это не то же самое, что линейная комбинация его элементов (если только вектор, $\ X\ $ является $1$-мерная и линейная комбинация $\ 1\cdot X\ $), который должен быть скаляром. Таким образом, ни распределение, ни характеристическая функция случайного вектора не могут быть такими же, как у линейной комбинации элементов этого случайного вектора. Распределение случайного$\ n$-вектор, а также его характеристическая функция будут функциями $\ n\ $переменных, тогда как как распределение, так и характеристическая функция любой конкретной линейной комбинации элементов случайного вектора будут функциями только одной переменной.

  Ключевым моментом в устройстве Крамера-Уолда является то, что вам необходимо знать одномерное распределение не только некоторой конкретной линейной комбинации элементов случайного вектора, но и каждой такой линейной комбинации, и это позволяет вам вывести случайное векторное распределение, функция многих переменных, из бесконечного семейства функций одной переменной.