Теорема Стоуна-Вейерштрасса.

Question

Позволять $f$ - вещественнозначная непрерывная функция на $[-1,1]$ такой, что $f(x) = f(-x),$ для всех $x \in [-1,1].$ Покажи это каждому $\varepsilon \gt 0$ есть многочлен $p(x)$ с такими рациональными коэффициентами, что для каждого $x \in [-1,1],$ $$\left \lvert f(x) - p(x^2) \right \rvert \lt \varepsilon.$$

Как мне это доказать? Любая помощь будет принята с благодарностью.

Заранее спасибо.

Answer 1

Сначала докажем следующее.

1. Предположим $p$ является многочленом на $[-1, 1]$ и разреши $\varepsilon>0.$ Существует многочлен $q$ С такими рациональными коэффициентами, что $\|p-q\|<\varepsilon.$

Доказательство. Чтобы увидеть это, позвольте$\deg(p)=n$ и разреши $p(z)=a_nz^n+\ldots+a_0.$ Выберите рациональные варианты $b_i$ такой, что $|a_i-b_i|<\varepsilon/(n+1).$ Теперь заметьте, что для любого $x\in [-1, 1]$ у нас есть $|p(X)-q(x)|<\varepsilon.$

Теперь второе, что нужно доказать, это то, что четная функция $f$ Может быть аппроксимирован четным многочленом от $x^2.$ Я считаю (из-за вашего комментария), что вам нетрудно показать это.

Надеюсь, теперь вы видите, как следует ваше утверждение.