Точность прогноза волатильности
Я понимаю основную концепцию моделей ARCH / GARCH и основную математику, стоящую за ней. То есть моделируется «изменчивость» временного ряда, то есть остатки временного ряда, описывающие модель, что, в свою очередь, позволяет прогнозировать волатильность.
Однако как оценивается прогноз волатильности? При установке условного среднего значения просто сравнивается фактическое значение с прогнозируемым значением. Что сравнивается в условиях условной волатильности? Разница между вышеуказанными значениями и прогнозируемой невязкой?
В этом случае я теоретически могу представить сценарий, в котором остаток всегда прогнозируется правильно, что, в свою очередь, подразумевает, что точечный прогноз всегда неверен (если остаток больше нуля). Это не может быть правильным методом оценки, так как он сильно зависит от предвзятости точечного прогноза. Но как правильно оценивать прогнозы ARCH / GARCH?
Ответы
Смысл прогнозирования волатильности состоит в том, чтобы спрогнозировать полную прогнозную плотность. Например, вы можете предположить нормальную будущую плотность со средним нулем и спрогнозировать один свободный параметр, который оказывается дисперсией. Или используйте какой-нибудь непараметрический подход.
Методом выбора для оценки прогнозируемой плотности является правильное правило оценки . У нас есть тег правил оценки . Его вики-теги содержат несколько указателей на литературу.
В качестве примера я случайным образом выбрал первую соответствующую статью в текущем выпуске Международного журнала прогнозирования , которая случайно оказалась «Прогнозирование волатильности с изменяющимся во времени кредитным плечом и волатильностью эффектов волатильности» Катании и Пройетти (2020, IJF ) . Они используют непрерывную ранжированную оценку вероятности (CRPS), которая является одним из наиболее часто используемых правил правильной оценки.
Говоря об оценке прогнозов волатильности в целом (не GARCH в частности), я упомяну альтернативу ответу Стефана Коласса.
Можно также изучить правильные правила оценки для статистики или «свойств» распределений; эту область иногда называют выявлением. Там можно задать следующий вопрос: существует ли «правильное» правило подсчета очков.$S(v, y)$ который оценивает прогноз $v$из дисперсии случайной величины , используя образец$y$? Здесь понятие надлежащего должно заключаться в том, что ожидаемая оценка максимальна, когда$v$ истинная дисперсия.
Оказывается, нет. Однако есть хитрость. Конечно, существует такое правило оценки для среднего, например$S(u, y) = - (u - y)^2$. Отсюда следует, что существует правило подсчета очков для второго момента (не по центру), например$S(w, y) = - (w - y^2)^2$.
Таким образом, для объективной оценки прогноза дисперсии в этом случае достаточно запросить прогноз только по двум параметрам, первому и второму моментам, которые определяют дисперсию. Другими словами, на самом деле нет необходимости производить и оценивать полный дистрибутив. (Это в основном ваше предложение: сначала мы оцениваем условное среднее, а затем примерно остаточное.)
Конечно, существуют и другие меры волатильности, помимо дисперсии, и проводятся исследования того, являются ли они «непосредственно вызываемыми» (т. Е. Существует правильное правило оценки, вызывающее их) или, если нет, их «сложность выявления» (т. Е. Сколько параметров должно быть извлеченным из базового распределения, чтобы оценить его). Одно из мест, где это изучается, - это меры риска в финансах. Изученные статистические данные включают ожидаемые, подверженные риску ценности и условные ценности, подверженные риску.
Некоторые общие обсуждения можно найти в Gneiting, Making and Evaluating Point Forecasts , Журнал Американской статистической ассоциации (2011).https://arxiv.org/abs/0912.0902. Сложность выявления изучается в работе Фронгилло и Каш, «Выявление векторных значений» , Конференция по теории обучения (COLT, 2015).http://proceedings.mlr.press/v40/Frongillo15.html
Может быть, все должно быть как можно проще - это то, что ищет shenflow. Так:
Но как правильно оценивать прогнозы ARCH / GARCH?
Дело не так сильно, как в условном среднем случае, таком как ARMA. Уловка в том, что вам нужно заботиться о том, что вы пытаетесь спрогнозировать.
Например, с финансовой отдачей ($r_t$) является обычным явлением для определения волатильности, поскольку квадрат доходности, скажем, $r_t^2$. Теперь такая модель, как ARCH / GARCH, дает вам спецификацию условной дисперсии:$V[r_t|r_{t-1},…, r_{t-p}]$
Например, в случае ARCH (1) мы имеем $V[r_t|r_{t-1}]= \omega + \alpha_1 r_{t-1}^2 $
Затем для оценки точности прогноза вам необходимо сравнить условную дисперсию (прогноз волатильности) с квадратом доходности (наблюдаемая волатильность). Затем для оценки точности обычно используются среднеквадратические потери . В случае ARCH (1):
$ MSE [r_t^2 - (\omega + \alpha_1 r_{t-1}^2)] $ для некоторых $t$
Обратите внимание, что за этим примером подразумевается нулевое условное среднее для $r_t$. В противном случае, даже если идея не такая уж иная, вторые моменты и отклонения не совпадают, и дело усложняется.