Требуется подтверждение и понимание

Nov 28 2020

Используйте результат упражнения 1, чтобы доказать, что A бесконечно, B конечно и B - конечное подмножество A, то A \ B бесконечно

Упражнение 1. Пусть A, B - непересекающиеся конечные множества. и A≈m. и B≈n, тогда. A ∪ B ≈ m + n. Сделайте вывод, что объединение двух конечных множеств конечно.

Примечание : проблема взята из книги Пинтера по теории множеств.

Попытка доказательства (Caveat Lector: пусть читатель остерегается ... Мои знания о бесконечном множестве шаткие, я могу использовать индукцию и отображение)

Я доказал упражнение 1. (Полное переписывание)

Напишите A = (A \ B)$\cup$ В (1)

С помощью $A \cup B $ из упражнения 1 получаем A \ B = ($A\cup B)\cap B^{c}$ (2)

Теперь предположим, что A имеет счетное подмножество B и A конечно; то есть A ≈ n, B ⊆ A и B ≈ ω. Итак, B$\subset$(А \ В)$\cup$ Б.

A \ B не может быть конечным, поскольку A бесконечно.$\in$A \ B, затем a$\in B^{c}$ тогда $B^c$ бесконечно; противоречие, поскольку B конечно

Следовательно, A / B бесконечно

Помогите

Ответы

PaulSinclair Nov 29 2020 at 19:32

Несколько вещей:

$A\setminus B = \{x \in A: x \notin B\}$. Таким образом$$A\setminus B = A\cap B^\complement$$ Нет причин объединяться во всех элементах $B$ прежде чем удалить их, пересекая с $B^\complement$.
Вы выводите

$A\setminus B= ((A\setminus B)\cup B)\cup B)\cap B^\complement$

Так $A\setminus B$ и $B$ не пересекаются.

Любой аргумент, с помощью которого вы могли бы получить "$A\setminus B$ и $B$ не пересекаются "с $A\setminus B= ((A\setminus B)\cup B)\cup B)\cap B^\complement$ будет работать намного легче из вашего утверждения (2): $A\setminus B= (A\cup B)\cap B^\complement$. Или еще проще из (я полагаю, это определение, которое Пинтер дает для$A\setminus B$): $A\setminus B = A\cap B^\complement$. Вы явно двигались в неправильном направлении и, очевидно, просто решили подделать это, надеясь, что ваш читатель так же заблудится и предположит, что вы действительно что-то продемонстрировали.

Тот $A\setminus B$ и $B$непересекающиеся, настолько очевидны, что сомнительно, нужно ли это вообще демонстрировать. По определению создателя множеств, которое я дал, это можно доказать, отметив, что$x \in A\setminus B \implies x \notin B$, поэтому нет $x$ что есть в обоих $A\setminus B$ и $B$. Если вы настаиваете на "алгебраическом множестве" доказательства, то$$(A\setminus B) \cap B = (A \cap B^\complement)\cap B = A\cap(B^\complement\cap B) = A\cap\varnothing = \varnothing$$

Вы не отслеживаете свои собственные предположения:

Теперь предположим, что $A$ имеет счетное подмножество $B$ и $A$конечно ; то есть,$A \approx n, B \subseteq A$, и $B \approx \omega$. Так$B\subset (A\setminus B)\cup B$.

$A\setminus B$не может быть конечным, поскольку A бесконечно ...

Кроме того, вы не используете ни один из пунктов выше в остальной части вашего аргумента, так почему вы упомянули их? Единственное, что вы использовали, это то, что$A$ бесконечно, что является условием теоремы.

Если $a\in A\setminus B$ тогда $a\in B^\complement$ тогда $B^\complement$ бесконечно, что противоречит тому, что $B$ конечно.

Я полагаю, вы показываете это $A\setminus B \subseteq B^\complement$, что действительно означало бы $B^\complement$бесконечно (при условии, что уже было доказано, что класс с бесконечным подклассом сам бесконечен). Но$B^\complement$ быть бесконечным ни в коем случае не противоречит $B$будучи конечным. Фактически дополнение любого конечного множества бесконечно. Дополнения к множествам не являются множествами согласно теории множеств Пинтера. Это правильные классы, а правильные классы всегда бесконечны.

Если вы хотите использовать упражнение 1, чтобы доказать это, необходимо доказательство от противного. Но вы пытаетесь доказать следующее: "$A\setminus B$ бесконечно ", поэтому вам нужно сделать противоположное предположение:"$A\setminus B$ конечно ". Когда вы приходите к противоречию, это означает, что предположение, которое привело вас к нему, ложно, и если"$A\setminus B$ конечно "ложно, то его противоположность"$A\setminus B$ бесконечно "будет верно.