Три отчаяния

Question

Трое головорезов А, В и С играют в русскую рулетку, в которой они по очереди нажимают на спусковой крючок шестицилиндрового револьвера, заряженного одной пулей. Каждый раз, когда магазин вращается, чтобы случайным образом выбрать новый цилиндр для стрельбы, пока не упал смертельный выстрел. Отчаянные стреляют в порядке A, B, C, A, B, C,. . .. Определите для каждого из трех головорезов вероятность того, что этот головорез застрелится.

Я должен вычислить вероятность того, что А умрет в $i$ое испытание, поэтому B и C никогда не умирают. Я толстый$1$й суд никто не умирает у нас есть $(\frac{5}{6})^3$. Я толстый$i$ый суд никто не умрет мы должны иметь $(\frac{5}{6})^3+...+(\frac{5}{6})^3=\sum_{k=0}^{\infty}k(\frac{5}{6})^3$, потому что

$\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}[(A\cap B_1)\cup...\cup(A\cap B_k)]=\mathbb{P}(A\cap B_1)+...+\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A|B_k)$

и с тех пор $A\perp B_k\Rightarrow \mathbb{P}(A)=\sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A)=(\frac{5}{6})^2\frac{5}{6}+...+(\frac{5}{6})^2\frac{5}{6}=(\frac{5}{6})^3+...+(\frac{5}{6})^3=k(\frac{5}{6})^3$

где $A=[$Не умереть$]$. Таким образом, А должен умереть в$i+1$ое испытание с вероятностью $\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}k(\frac{5}{6})^3$.

К сожалению результат $\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{5}{6})^{3k}$. Зачем?

Answer 1

Ваши обозначения чрезмерно усложняют проблему. Вероятность того, что пушка первой выстрелит по$i$-ое нажатие на спусковой крючок $(5/6)^{i- 1}\cdot(1/6)$... то есть вероятность того, что первый $i-1$ нажатие на спусковой крючок не срабатывает, а затем $i$-го делает. $A$ умирает, если это происходит при первом, четвертом, седьмом и т.д .... нажатии на спусковой крючок: если $i=3k+1$ для некоторых естественных $k$. Так$$ P(A)=\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^{3k}=\frac{36}{91}. $$ Для полноты, поскольку $B$ и $C$ требовать $i=3k+2$ и $i=3k+3$ соответственно, $$ P(B)=\frac{5}{6}P(A)=\frac{30}{91} $$ и $$ P(C)=\frac{25}{36}P(A)=\frac{25}{91}. $$

Answer 2

Вы можете решить эту задачу без сложного суммирования рядов. Ты знаешь что:

$$ P(A) = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} P(C)$$

Один раз из шести, $A$проиграет сразу. В другом$\frac{5}{6}$ случаев, $A$ будет в такой же ситуации $C$ находится в начале игры.

Далее у вас есть:

$$P(B) = \frac{5}{6} P(A)$$

Если А не проиграет вначале, $B$ проиграет с вероятностью $P(A)$.

Конечно, у вас также есть:

$$P(A) + P(B) + P(C) = 1 \; ,$$

поскольку кто-то должен проиграть. У вас есть 3 уравнения и 3 неизвестных.