Условия компактности оператора

Question

Позволять $A$ - ограниченный оператор в гильбертовом пространстве с ONB $\{e_n\}_n$. Ищу точные условия на$\langle e_n, A e_m \rangle$ чтобы гарантировать, что $A$компактен (т. е. предел операторов конечного ранга). Известно, что$A$ класс трассировки, если $$ \sum_{m} \sum_n|\langle e_n, A e_m \rangle| < \infty $$и операторы классов трассировки находятся в пределах компактов. Однако что, если$A$это не класс трассировки? Если$A$ были диагональными, мы знаем, что достаточным и необходимым условием является то, что $$\langle e_n, A e_n \rangle\to 0 \qquad( n\to\infty)\,.$$

Однако что, если $A$не диагональ? Есть ли критерий распада$\langle e_n, A e_m \rangle$?

Answer 1

За $m\geq n$, позволять $A^{m, n}$ быть $m\times m$ матрица задана

$$ A^{m, n}_{i, j} = \left\{\matrix{ 0, & \text{if } i, j\leq n, \cr \langle e_i, Ae_j\rangle , & \text{otherwise}. } \right. $$ Например, $$ A^{3,2} = \pmatrix{ 0 & 0 &\langle e_1, Ae_3\rangle \cr 0 & 0 &\langle e_2, Ae_3\rangle \cr \langle e_3, Ae_1\rangle & \langle e_3, Ae_2\rangle & \langle e_3, Ae_3\rangle }. $$

Теорема . Оператор $A$ компактно тогда и только тогда, когда $\lim_{m,n\to\infty} \|A^{m, n}\| =0$.

Доказательство . Позволять$P_n$ - ортогональная проекция на пролет первого $n$ базисные векторы и заметим, что для $m\geq n$, матрица $$ P_mAP_m - P_nAP_n $$ совпадает с $A^{m,n}$ внутри вверху слева $m\times m$блок записей и ноль записей везде. Следует, что $$ \|A^{m, n}\| = \| P_mAP_m - P_nAP_n\|, $$ поэтому условие, касающееся ограничения в заявлении, эквивалентно $\{P_nAP_n\}_n$ последовательность Коши.

Поскольку мы работаем в пространстве ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, которое является полным, мы можем заменить «Коши» на «сходящиеся» в предложении выше.

Предполагая, что это условие верно, то есть что $P_nAP_n$ сходится, то предельный оператор имеет ту же матрицу, что и $A$ (Я предполагаю, что мы используем внутренний продукт Physicist, который линейно сопряжен по первой переменной) и, следовательно, совпадает с $A$. Другими словами $$ \lim_nP_nAP_n = A. $$ поскольку $P_nAP_n$ имеет конечный ранг, следовательно, компактно, а поскольку пространство компактных операторов замкнуто, отсюда следует, что $A$компактный. Это доказывает часть «если». Что касается части "только если", предположим, что$A$компактный. Используя это$\{P_n\}_n$ равномерно ограничен и сходится к тождественному оператору в сильной (поточечной) топологии, показывает, что $P_nAP_n$ сходится к $A$ в норме, так что $\{P_nAP_n\}_n$ является последовательностью Коши, которая, как мы уже договорились, эквивалентна условию в утверждении.

---

Примечания:

1. поскольку $A^{m, n}$ является конечной матрицей, ее норма (в принципе) вычислима в терминах $\langle e_i, Ae_j\rangle $, как требуется.

2. Вычисление норм конечных матриц - сложная числовая задача, поэтому этот критерий может оказаться не таким полезным, как хотелось бы ОП.