$uu^* \leq vv^* \implies \exists w : u = vw$

Question

Рассмотрим следующий фрагмент из книги Мерфи "$C^*$-алгебры и теория операторов »:

Как мы можем продлить $w_0$ на карту $w_1: H \to H$? Я думаю, мы сначала продлим$w_0$ к закрытию $\overline{v^*(H)}$ а затем определите его как $0$на его ортогональном дополнении. Это работает?

Кроме того, почему у нас есть $u = vw_1$? Зависит ли это от явного расширения$w_0$ или это верно для всех ограниченных расширений $w_0$?

Answer 1

Да, ты всегда можешь это сделать. Если вы никогда этого не делали, вам нужно показать, что любой ограниченный линейный оператор может быть продолжен по непрерывности до замыкания его области определения. И что если разложить$H=H_1\oplus H_1^\perp$ и $S,T$ - ограниченные операторы на $H_1$ и $H_1^\perp$ соответственно, то $S\oplus T$ определяется $(S\oplus T)(x\oplus y)=Sx\oplus Ty$ - ограниченный оператор с $\|S\oplus T\|\leq\|S\|+\|T\|$.