Вероятность на MCQ

Question

Экзамен состоит из 3 верных или неверных вопросов, если кандидат знает ответ, он / она отвечает на него правильно, в противном случае делается предположение, и вероятность получить его правильно равна 1/2, экзаменатор предполагает, что каждый кандидат не знает ответа. , 1 ответ, 2 ответа, 3 ответа с равными вероятностями, кандидат правильно ответил на два из трех вопросов, какова вероятность того, что этот кандидат знал ответ только на один из них?

(А) 1/11. (B) 2/11. (С) 3/11. (D) 4/11.

Таким образом, для требуемой вероятности числитель должен иметь условие, что из двух предположений 1 является правильным, а другое - нет, поэтому вероятность может быть $3C2$ × $1/2$ × $1/2$ но какой будет знаменатель?

Answer 1

Мы проводим более подробные вычисления, определяя вероятность того, что студент получил $y=2$ правильно и знал $x$ за $x=0,1,2$: $$P(y=2\mid x=0)=\binom32(1/2)^3=\frac38$$ $$P(y=2\mid x=1)=\binom21(1/2)^2=\frac12$$ $$P(y=2\mid x=2)=\frac12$$ (Нам не нужно рассчитывать $x=3$ так как в этом случае у нас было бы $y=3)$. Наконец, по полной вероятности и поскольку$x=0,1,2,3$ с равной вероятностью, $$P(x=1\mid y=2)=\frac{1/2}{3/8+1/2+1/2}=\frac4{11}$$