Вопрос о $SK_1$ колец

Question

Позволять $B$ коммутативное кольцо с единицей и $B/nil(B):=B_{red}$, где $nil(B)$ нильрадикал $B$. Является$SK_1(B)=SK_1(B_{red}) ?$ В частности, правда ли, когда $B$ есть аффинная алгебра над алгебраически замкнутым полем?

Answer 1

Да. Элемент в ядре$SK_1(B)\rightarrow SK_1(B_{red})$ представлен матрицей $M\in GL_n(B)$ для некоторых $n$. Писать$\overline{M}$ для сокращения $M$ мод $nil(B)$. потом$\overline{M}$ является произведением элементарных матриц, все из которых поднимаются до элементарных матриц над $B$. Регулировка$M$ соответственно, можно считать, что $\overline{M}$ это личность.

Отсюда следует, что элементы на диагонали $M$ являются все $1$ мод $nil(B)$, следовательно, все блоки в $B$. Это позволяет нам использовать элементарные операции для преобразования$M$ диагональной матрице, которая, следовательно (по лемме Уайтхеда) представляет собой нулевой элемент матрицы $SK_1(B)$.

(Тот же аргумент работает, если $B_{red}$ заменяется на $B/I$, где $I$ - любой идеал, содержащийся в радикале Джекобсона.)