Вопрос теории чисел - делимость

Question

Пусть s будет наименьшим положительным целым числом, обладающее тем свойством, что его сумма цифр и сумма цифр s + 1 делятся на 19. Сколько цифр в s?

Я пытался найти наименьшее число, и у меня получилось 14 цифр (число 18999999999999), но я ошибался. Как получилось, что число меньше?

Answer 1

Цифровая сумма $s + 1$ для вашего номера $18999999999999$ является $10$, не делится на $19$.

Если есть $k$ $9$в конце $s$, то сумма цифр $s$ и $s + 1$ отличаться $9k - 1$.

Следовательно, должно быть как минимум $17$ $9$в конце $s$ (в виде $17$ является инверсией $9$ по модулю $19$). Чтобы сумма делилась на$19$, мы должны добавить еще $18$. Но это невозможно сделать двумя цифрами, так как для этого потребуются еще два$9$с.

Так что мы должны иметь как минимум $20$ цифры, а самые маленькие такие $s$ является $19899999999999999999$.