Значение интеграла

Question

Мне нужно проверить значение следующего интеграла $$ 4n(n-1)\int_0^1 \frac{1}{8t^3}\left[\frac{(2t-t^2)^{n+1}}{(n+1)}-\frac{t^{2n+2}}{n+1}-t^4\{\frac{(2t-t^2)^{n-1}}{n-1}-\frac{t^{2n-2}}{n-1} \} \right] dt.$$ Подынтегральное выражение (множитель $4n(n-1)$) включен) - это PDF-файл некоторой случайной величины для $n\geq 3$и, следовательно, я ожидаю, что это будет 1. Если кто-то может любезно поместить это в какую-нибудь систему компьютерной алгебры, такую ​​как MATHEMATICA, я буду очень признателен. У меня нет доступа к какому-либо программному обеспечению CAS.

PS: -Я не знаю ни одного бесплатного ПО CAS. Если есть кто-нибудь, пожалуйста, поделитесь

Answer 1

Интеграл можно переписать в виде \begin{align*} I&=\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}-t^{2n-1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}-t^{2n-1}}{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2n+2}+\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}}{n-1}\,dt. \end{align*} Интегрируя по частям, получаем $$\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}\,dt=\frac{1}{n^2-1}+\int_0^1\frac{t^{n-1}(2-t)^n}{n-1}\,dt.$$ Следовательно, \begin{align*} I&=\frac{1}{2}+\frac{n}{2}\int_0^1t^{n-1}(2-t)^n-t^n(2-t)^{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\int_0^1(t^n(2-t)^n)'\,dt=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1. \end{align*}

PS Для символьных вычислений можно использовать SageMath и WolframAlpha . Оба бесплатны.

Answer 2

Похоже, ваша догадка верна. Mathematica дает результат$$ (1 + 4^n (-1 + n) n \mbox{Beta} [1/2, -1 + n, 2 + n] - 4^n n (1 + n) \mbox{Beta} [1/2, 1 + n, n])/(2 (1 + n)) $$ в терминах неполной бета-функции и вставки случайных целых чисел $\geq 3$ всегда дает 1 (мне не удалось заставить Mathematica выплюнуть это как общий результат для произвольных $n$).

Answer 3

Вы можете использовать CoCalc . Например, введите integral(x^2,x)и получите1/3*x^3

Он также допускает символьные параметры.

Вход:

f(x,n)=x^2+n

integral(f(x,n),x)

Вывод:

1/3*x^3+n*x