Bu seti nasıl tanımlayabilirim?

Question

İzin Vermek $A_1,..., A_n$setlerden oluşan bir aile olun. Şu şekilde bir şimdi kümesi oluşturmak istiyorum:

Set $B$ herhangi bir setteki tüm olası öğe kombinasyonlarının birleşiminden oluşur.

Örneğin: Let $A_1=\{\{1\},\{2\}\}$, $A_2 = \{\{3\}\}$ ve $A_3 = \{\{4\}\}$. Sonra set$B$ olmalı:

$$B=\{\{1\},\{2\}, \{3\},\{4\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{1,2,3,4\}\}$$

Sorum şu, bu seti resmi olarak nasıl yazabilirim?

Benim yaklaşımım şuydu:

• Öncelikle birleştirmek istediğimiz tüm öğeleri aynı sete koyalım: $\bigcup\limits_n A_n$

• O halde güç setini alalım: $\mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)$
  Bu güç setinde istediğimiz tüm kombinasyonlara sahibiz:

Şimdi tanımlayabiliriz $B$ gibi:

$$B = \left\{ \bigcup_{a \in A} a : A \in \mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)\right\}$$

Sorum şu, ben fazla mı karmaşık hale getiriyorum? Bu seti tanımlamanın başka bir yolu var mı?

Answer 1

$\bigcup_nA_n$ öğeleri çizebileceğiniz tüm setlerin koleksiyonudur, bu nedenle $\bigcup\bigcup_nA_n$ üyelerini oluşturmak için kullanabileceğiniz tüm öğelerin koleksiyonudur $B$; senin örneğinde

$$\bigcup_nA_n=\big\{\{1\},\{2\},\{3\},\{4\}\big\}\,,$$

ve

$$\bigcup\bigcup_nA_n=\{1,2,3,4\}\,.$$

Görünüşe göre sadece boş olmayan alt kümelerini istiyorsunuz $B$, yani

$$B=\wp\left(\bigcup\bigcup_nA_n\right)\setminus\{\varnothing\}\,.$$