pegando ideales juntos
Mientras reflexionaba sobre hechos básicos sobre subesquemas cerrados, se me ocurrió la siguiente afirmación. Creo que debe ser cierto, pero me cuesta probarlo algebraicamente.
Dejar $ R$ ser un anillo conmutativo con 1. Sea $f_1,...,f_k\in R$ con $ (f_1,...,f_k)=R$ y deja $I_1\subset R_{f_1}, ..., I_k\subset R_{f_k}$ser ideales. Supongamos que para cada$i,j$, el ideal generado por la imagen de $I_i$ en $ R_{f_if_j}$ es el mismo que el ideal generado por la imagen de $I_j$ en $ R_{f_if_j}$. Entonces existe un ideal único$I\subset R$ cuya imagen en cada $R_{f_i}$ genera $I_i$.
Respuestas
Sospecho que posiblemente haya una solución mucho más elegante que esta, pero aquí hay una prueba (un poco fea).
Para cada $i, j$, dejar $\iota_i:R\rightarrow R_{f_i}$ y $\tau_{ij}:R_{f_i}\rightarrow R_{f_if_j}$sean los mapas de localización canónicos. (Recuerde en particular que$\text{ker}(\tau_{ij})=\{x\in R_{f_i}:\exists b\in\mathbb{N}\text{ such that }xf_j^b\big/1=0\big/1\in R_{f_i}\}$.) Ahora, defina $I=\bigcap_{i=1}^k\iota_i^{-1}(I_i)$. Ciertamente$I$ es un ideal de $R$, y cada $\iota_i(I)R_{f_i}\leqslant I_i$. Afirmo que esta inclusión es una igualdad.
Para ver esto, deja $r\big/{f_i^m}\in I_i$, dónde $r\in R$. Ahora, para mostrar$r\big/f_i^m\in\iota_i(I)R_{f_i}$ ciertamente es suficiente para mostrar $r\big/1\in\iota_i(I)R_{f_i}$, entonces realmente solo necesitamos encontrar $s\in I$ y $n\in\mathbb{N}$ tal que $r\big/1=s\big/f_i^n\in R_{f_i}$.
Para hacer esto, arregle algunos $j\neq i\in\{1,\dots,k\}$. Tenga en cuenta que$r\big/1\in I_i$, entonces $r\big/1\in \tau_{ij}(I_i)R_{f_if_j}=\tau_{ji}(I_j)R_{f_if_j}$, entonces hay $f\in I_j$ y $a\in\mathbb{N}$ tal que $r\big/1=f\big/f_i^a\in R_{f_if_j}$. Por lo tanto$(rf_i^a-f)\big/1\in\text{ker}(\tau_{ji})$, entonces alli esta $b\in\mathbb{N}$ tal que $(rf_i^a-f)f_i^b\big/1=0\big/1\in R_{f_j}$, es decir, tal que $rf_i^{a+b}\big/1=ff_i^b\big/1\in R_{f_j}$. Pero entonces, porque$f\in I_j$, tenemos $rf_i^{a+b}\big/1\in I_j$. Denotar por lo tanto$n_j=a+b$, de modo que $rf_i^{n_j}\big/1\in I_j$.
Ahora, haz esto por todos $j$, dejar $n=\text{max}_{j\neq i}n_j$y definir $s=rf_i^n\in R$. Claramente$s\in I$, ya que (para todos $j$) $\iota_j(s)=s\big/1=(rf_i^{n_j})f_i^{n-n_j}\big/1\in I_j$ por la construcción del $n_j$. Además, tenemos$s\big/f_i^n=rf_i^n\big/f_i^n=r\big/1\in R_{f_i}$, así que esto $s\in I$ y $n\in\mathbb{N}$ danos exactamente los testigos de $r\big/1\in\iota_i(I)R_{f_i}$ que deseamos.
Vaya, se olvidó de mostrar singularidad. Primero nota que$I$es ciertamente máximo con la propiedad que desea; Si$r\in R\setminus I$, luego por la construcción de $I$ hay algunos $i\in\{1,\dots,k\}$ con $\iota_i(r)\notin I_i$. Pero entonces claramente la imagen de cualquier ideal que contenga$r$ en $R_{f_i}$ es estrictamente mayor que $I_i$, por lo que no puede haber tal ideal con la propiedad que deseamos.
Por el contrario, suponga que $J\leqslant I$tiene la propiedad que deseamos. Entonces$\iota_i(J)R_{f_i}=I_i$. Dejar$r\in I$y arreglar algunos $i\in\{1,\dots,k\}$. Por construcción tenemos, para cada$i$, $r\big/1\in I_i=\iota_i(J)R_{f_i}$, entonces debe haber $s_i\in J$ y $a\in\mathbb{N}$ tal que $r\big/1=s_i\big/f_i^a\in R_{f_i}$. Así$rf_i^a-s_i\in\text{ker}(\iota_i)$, entonces alli esta $b\in\mathbb{N}$ tal que $(rf_i^a-s_i)f_i^b=0\in R$. Pero entonces, desde$s_i\in J$, tenemos $rf_i^{a+b}\in J$, Entonces deja $m_i=a+b$.
Repita este proceso para todos $i$, y deja $m=\sum_{i=1}^k m_i$. Ahora, aquí es donde necesitamos la hipótesis de que$(f_1,\dots,f_k)=R$. De hecho, en particular, hay$\lambda_i\in R$ tal que $\lambda_1 f_1+\dots+\lambda_k f_k=1$. Esto da$r=r1=r1^m=r(\lambda_1 f_1+\dots+\lambda_k f_k)^m$. Cada término monomial después de expandir el lado derecho tendrá un factor de$rf_i^{m_i}$ para algunos $i$, y por lo tanto se encuentran en $J$por construcción. Así, todo el lado derecho es un elemento de$J$, entonces $r$ es demasiado, y tenemos $I=J$ como se desee.