1990 IMO Q3 को कैसे हल करें

आदेश पर मेरे पाठ के लिए, मेरे शिक्षक ने मुझे जो अभ्यास दिया, उनमें से एक प्रश्न 1990 के आईएमओ पेपर 3 था:

सभी पूर्णांक खोजें $n>1$ ऐसा है कि $\frac{2^n+1}{n^2}$ एक पूर्णांक है।

मेरा प्रयास:

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हमारे पास है $$n^2|2^n+1\Rightarrow2^n+1\equiv0\pmod{n^2}\Rightarrow2^n\equiv-1\pmod{n^2}\Rightarrow2^{2n}\equiv1\pmod{n^2}$$ भी $\text{ord}_{n^2}(2)=1$, $\text{ord}_{n^2}(2)=2$, $\text{ord}_{n^2}(2)=d$ कहाँ पे $d|n$, या $\text{ord}_{n^2}(2)=2d$ कहाँ पे $d|n$ परंतु $2d\nmid n$।

अगर $\text{ord}_{n^2}(2)=1$, $2^1\equiv1\pmod{n^2}$, फिर $n^2=1\Rightarrow n=1$। इसके लिए आवश्यकताओं का खंडन करता है$n$।

अगर $\text{ord}_{n^2}(2)=2$, $2^2\equiv1\pmod{n^2}$, फिर $n^2=1$ या $3$ इसलिए $n$ है $1$ या $\sqrt3$। यह भी आवश्यकताओं के विपरीत है$n$।

अगर $\text{ord}_{n^2}(2)=d$ तब एक पूर्णांक मौजूद होता है $k$ ऐसा है कि $dm=n$। फिर$2^n=2^{dm}=\left(2^d\right)^m\equiv1^m=1\pmod{n^2}$। यह विरोधाभास है$2^n\equiv-1$ जो हमने पहले दिखाया था।

इसलिये $$\text{ord}_{n^2}(2)=2d$$

Euler प्रमेय द्वारा $2^{\phi(n^2)}\equiv1\pmod{n^2}$, इसलिए $2d|\phi(n^2)$। जैसा$\phi(n)=n\prod_{p|n}\frac{p-1}p=nk$ कहाँ पे $k=\prod_{p|n}\frac{p-1}p$, तथा $n$ तथा $n^2$ हमारे पास वही प्रमुख कारक हैं, जो हमारे पास हैं $$\phi(n^2)=n^2\prod_{p|n}\frac{p-1}p=n\left(n\prod_{p|n}\frac{p-1}p\right)=n(nk)=n\phi(n)$$

जारी रखते हुए,

$$2d|\phi(n^2)\Rightarrow2d|n\phi(n)\Rightarrow2|m\phi(n)$$

कहाँ पे $dm=n$। इसका मतलब या तो है$m$ सम है (जिसका तात्पर्य है $n$ है भी) या $\phi(n)$ सम है।

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दुर्भाग्य से, मैं अभी भी वास्तव में समस्या को हल करने से दूर हूं। यह स्पष्ट है कि दिखा रहा है$n$ या भी है $\phi(n)$ यह दिखाने के लिए भी पर्याप्त नहीं है $\frac{2^n+1}{n^2}$ एक पूर्णांक है (प्रतिउत्तर में शामिल हैं $n=4$ तथा $n=5$)। मेरे द्वारा तय की गई शर्तों को पूरा करने के लिए असीम रूप से कई संख्याएँ हैं। हालांकि, मुझे यकीन नहीं है कि कैसे आगे बढ़ना है, इसलिए मैं सवाल को खत्म करने में कुछ सहायता चाहूंगा।